Author(s): Brandão, Daniela Teresa Quaresma Santos
Date: 2016
Persistent ID: http://hdl.handle.net/10174/17740
Origin: Repositório Científico da Universidade de Évora
Subject(s): Geometria fractal; Dimensão fractal; Dimensão de Hausdorff; Dimensão de capacidade; Dimensão de correlação; Fractal geometry; Fractal dimension; Hausdorff dimension; Box-counting dimension; Correlation dimension
O objetivo deste trabalho é o estudo da dimensão fractal, nomeadamente a dimensão de Hausdorff, dimensão de capacidade e dimensão de correlação, relacionando-as e efetuando o cálculo em alguns exemplos. Sempre que se considera indispensável, são apresentadas noções introdutórias para uma melhor compreensão dos conceitos analisados. O Capítulo 2 é dedicado ao estudo da dimensão de Hausdorff, introduzindo, previamente, uma noção de medida, de Hausdorff. No Capítulo 3 analisamos a dimensão de capacidade, suas propriedades e inconvenientes, relacionando, no final, esta dimensão com a dimensão de Hausdorff. O Capítulo 4 estuda técnicas para calcular dimensões. São estudados subconjuntos de medida. Finita, sistemas de funções iteradas, conjuntos auto-semelhantes e auto-afins e dimensões de gráficos. O Capítulo 5 é dedicado à dimensão de correlação. Estuda o expoente de correlação Introduzido por Grassberger e Procaccia. São analisadas funções de dimensão 1 e no plano. Terminamos com o estudo de séries temporais de variável única. ABSTRACT: The aim of this work is the study of the fractal dimension, namely the Hausdorff dimension, the box-counting dimension and the correlation dimension, relating and computing them in some examples. Everytime it is necessary we introduce the basic concepts to a better understanding of the concepts analysed in this work. Chapter 2 is dedicated to the study of the Hausdorff dimension, introducing first the notion of Hausdorff measure. Chapter 3 is concerned with the box-counting dimension, its properties and problems. Then we relate this dimension With Hausdorff dimension studied in Chapter 2. Chapter 4 is dedicated to the techniques for calculating dimensions. We study subsets of finite measure, iterated function schemes, self-similar and self-affine sets and dimensions of graphs. Finally, in Chapter 5 we present the correlation dimension. We study the correlation exponent, introduced by Grassberger and Procaccia. We finish this Chapter with a study of single-variable time series.
