A união de matroides: sobre dois artigos base desta operação

• Author(s): Herdade, Simão Matias
• Date: 2008
• Persistent ID: http://hdl.handle.net/10451/1353
• Origin: Repositório da Universidade de Lisboa
• Subject(s): Matemática; Teses de mestrado
• Document Type: Master thesis
• Language: Portuguese
• Advisor(s): Silva, J. A. Dias da
• Contributor(s): Repositório da Universidade de Lisboa

Description

Tese de mestrado em Matemática, apresentada à Universidade de Lisboa, através da Faculdade de Ciências, 2008

This Master thesis focus on two papers on the sum of matroids, chosen for their relevance on the subject. On one hand, for showing interesting results on the subject, using almost nothing but the basic concepts of the topic. On the other hand, for bringing comprehension to the importance and centrality of the other theory concepts and propositions. In practice, having that on mind, we start presenting the fundamentals of Matroids Theory and of the sum of matroids operation; also presenting integer partitions, since they are used on the first paper. With this background, we then exhibit both papers in the most simple and clear way found. Namely, in the first paper, on the µ-colorings of a matroid, we present an easier proof of each of the three main results involved. In the second one, on the notion of transversals of the sum of matroids, we also try to exhibit it in a clear way, showing in detail all the computation required, but above all, highlighting the important steps involved. Finally, we analyse the understanding brought by the two papers to the field of the sum of matroids, studying the consequences of their results, the questions they rise and steps taken forward towards their resolution. Along the way, we also approach one or two different Mathematics fields that this work naturally led us into. This is the case of the Linear Algebra conclusions obtained, as well as of one or two remarks on computation capacity.

A tese aqui apresentada incide em dois artigos sobre a união de matroides, nos quais se debruça pela sua relevância no tema. Num sentido, por apresentarem resultados interessantes neste área, partindo quase exclusivamente dos conhecimentos mais elementares do tópico. No sentido inverso, por esses resultados permitirem uma melhor compreensão da importância e centralidade dos restantes conceitos e proposições da teoria. Concretamente, tendo presente a ideia acima, começa por se apresentar os fundamentos da teoria de matroides e a operação de união de matroides. Introduz-se também o tópico de partições de inteiros, utilizado no primeiro dos artigos apresentados. Partindo destes conhecimentos básicos, expõe-se de seguida cada um dos artigos, da forma mais simples e clara encontrada. Nomeadamente, no primeiro artigo, sobre colorações de um matroide, apresenta-se uma demonstração mais simples de cada um dos três resultados fundamentais envolvidos. No segundo artigo sobre transversais da união de matroides, faz-se também uma apresentação que se espera mais clara, expondo detalhadamente todos os cálculo que justificam os raciocínios, mas realçando sempre as ideias realmente importantes envolvidas. Por fim faz-se uma análise da compreensão que os artigos trazem ao tema da união de matroides, estudando consequências dos seus resultados, questões que levantam e avanços na sua resolução. Aborda-se ainda uma ou outra área diferente da matemática que os desenvolvimentos apresentados naturalmente interpelem. Tal é o caso de conclusões de Álgebra Linear obtidas, ou de uma ou outra referência de ordem computacional.