Existence results and applications for some non-linear optimal control problems

• Author(s): Tiago, Jorge Filipe Duarte
• Date: 2009
• Persistent ID: http://hdl.handle.net/10451/1657
• Origin: Repositório da Universidade de Lisboa
• Subject(s): Análise matemática; Teses de doutoramento
• Document Type: Doctoral thesis
• Language: English
• Advisor(s): Pedregal Tercero, Pablo; Barbarosie, Cristian, 1972-
• Contributor(s): Repositório da Universidade de Lisboa

Description

Tese de doutoramento, Matemática (Análise Matemática), 2010, Universidade de Lisboa, Faculdade de Ciências

Os resultados clássicos de existência, para problemas de controlo óptimo, governados por sistemas de equações diferenciais ordinárias, baseam-se em condições de convexidade que resultam frequentemente muito difíceis de verificar. Apresentamos uma abordagem geral para este problema, com base em várias relaxações do mesmo, na qual a convexidade surge de um modo inesperada. Isolamos uma condição suficiente, para a existência de soluções óptimas, que pode ser verificada em vários contextos. Podemos chegar a um resultado de existência para problemas vectoriais, com uma estrutura particular, proveniente de problemas de controlo e manobra deve veículos subaquáticos. Numa abordagem diferente, recuperamos técnicas clássicas baseadas na reformulação variacional, que nos permitem obter resultados de existência através da aplicação de teoremas para problemas variacionais, sem condições de convexidade. Em particular, provamos a existência de solução, no caso escalar, para problemas de controlo óptimo autónomos.Utilizamos o nosso resultado de existência, demonstrado para problemas de controlo óptimo com variáveis vectoriais, para provar a existência de solução para um problema de manobra de veículos subaquáticos. Para terminar, apresentamos algumas ideias para trabalho futuro. Propomos a implementação de um método numérico, baseado em direcções de descida mais rápida, para aproximar soluções de problemas de controlo óptimo vindos das aplicações. Mostramos resultados preliminares desta implementação, para alguns exemplos académicos.

Classical existence results for optimal control problems governed by systems of ordinary differential equations are based on typical convexity assumptions, which are quite often, very difficult to check. We present a general approach to prove existence of solutions for optimal control problems, based on several relaxations of the problem, where the convexity arises inan unexpected way. We isolate one sufficient condition for the existence of optimal solutions, which can be validated in various contexts. We end up with a main existence result for vector problems with a particular structure, motivated by underwater-vehicles-maneuvering problems. Alternatively, we recover the classical approach based on a purely variational reformulation, which can lead to existence results by using one existence theorems for variational problems without convexity assumptions. In particular we prove the existence of solution for autonomous scalar optimal control problems. Finally, we apply our existence result for vector state and control variables, to prove the local existence of solution for an optimal control problem describing the control of an underwater vehicle. Additionally to the main work described above, we introduce some ideas for future work. We propose to implement a numerical method, based on steepest descent directions, to approximate the solutions of realistic optimal control problems. Some preliminary results for academic examples are shown.

Fundação para a Ciência e Tecnologia (SFRH-BD-22107-2005), Programa Operacional Ciência e Inovaçao 2010