Electron thermal self-energy in a highly degenerate plasma

• Author(s): Rodrigues, Xavier de Sousa Ferreira
• Date: 2016
• Persistent ID: http://hdl.handle.net/10451/23007
• Origin: Repositório da Universidade de Lisboa
• Subject(s): Teses de mestrado - 2016; Departamento de Física
• Document Type: Master thesis
• Language: English
• Advisor(s): Bento, Luís, 1960-
• Contributor(s): Repositório da Universidade de Lisboa

Description

Tese de mestrado, Física (Física Nuclear e Partículas), Universidade de Lisboa, Faculdade de Ciências, 2016

The aim of this work is the determination and interpretation of the energy spectrum of a highly degenerate Fermi gas of relativistic electrons. The thermal corrections to the electron's self-energy interaction are calculated to one-loop order in Quantum Electrodynamics (QED) and the resulting dispersion relation of the electron is determined. We use the mathematical framework of finite-temperature quantum field theory, in particular the so-called real-time formalism. In the literature, this method has been applied to a symmetric plasma of massless fermions and anti-fermions at very high temperature. The electrons and positrons were shown to gain a thermal mass that is directly proportional to the coupling constant and the temperature of the plasma. Moreover, the dispersion relation was shown to yield additional solutions, interpreted as holes and anti-holes. These solutions are collective modes of the plasma and do not exist in a vacuum. Our study of a degenerate plasma of massive electrons will show that collective plasma excitations corresponding to holes and anti-holes are also present in this system. Furthermore, we show that the electrons in the plasma acquire a thermal mass that scales with the coupling constant and the Fermi momentum of the distribution. We also found that the asymmetry of the plasma leads electrons and positrons to acquire a thermal mass that is different from each other, with the difference given approximately by the free electron mass me. The same difference was found for holes and anti-holes. The importance of this study resides in its potential application to several astrophysical systems where a degenerate distribution of relativistic electrons is present, such as the core of supernovae during their collapse, and the core of compact stars. A thermal correction to the electron and positron mass could yield relevant changes to the kinetics of reactions such as (inverse-)β decay, and therefore to the rates of electron production and absorption. This may alter the conditions for chemical equilibrium as well as the rate of neutrino emission associated with these processes.

O presente trabalho tem como objetivo a determinação e interpretação física do espetro energético de um gás de Fermi degenerado de eletrões, no regime relativista. Para isso, estudam-se os efeitos do banho térmico sobre a interação de auto-energia de um eletrão em segunda ordem em Eletrodinâmica Quântica (QED) e calcula-se a resultante relação de dispersão do eletrão no banho térmico. A auto-energia é uma correção relativista à energia do eletrão, que advém da sua emissão e reabsorção de fotões virtuais no curso da sua propagação. No vácuo, a correção da auto-energia à carga e massa do eletrão apresenta uma divergência ultra-violeta; para obter resultados físicos é necessário proceder à regularização do integral, depois da qual a massa e a carga devem ser renormalizadas de modo a corresponderem às propriedades observáveis do eletrão. Ao propagar-se num meio físico, um eletrão vai interagir com a distribuição de partículas que constitui o meio. Isto irá levar a uma correção térmica à auto-energia que, no geral, vai alterar a relação de dispersão do eletrão. Para calcular este efeito é necessário considerar a estatística da distribuição; para tal, iremos usar métodos de teoria quântica do campo a temperatura finita, em particular o chamado formalismo de tempo real, que consiste em adicionar ao propagador uma componente térmica resultante da presença dos eletrões e/ou positrões do plasma, componente essa que tem que ser pesada estatisticamente tendo em conta a distribuição de Fermi-Dirac das partículas do banho térmico. Isto irá introduzir no propagador uma dependência das variáveis termodinâmicas do banho, tais como o momento de Fermi (no caso de uma distribuição degenerada), a densidade de partículas, a temperatura, etc. Ao incluir este “propagador térmico” no cálculo da auto-energia do eletrão, a relação de dispersão (que corresponde aos polos do propagador) irá então sofrer a correção térmica referida, que dependerá portanto das variáveis termodinâmicas. Para além disso, a presença do plasma vai introduzir na discrição da auto-energia uma dependência do referencial de repouso do plasma, o que irá quebrar a invariância de Lorentz que é característica da auto-energia no vácuo. Concretamente, a auto-energia do eletrão no meio irá depender das componentes da energia-momento do eletrão p0 e ІPІ, ao contrário do caso da sua propagação no vácuo, em que a auto-energia pode apenas depender do invariante de Lorentz p2 = p20- p2. Damos igualmente uma interpretação física do processo de auto-energia num meio térmico. Mostramos que a correção térmica à auto-energia advém da possibilidade de o fotão virtual emitido pelo eletrão ser absorvido não por si próprio, mas por um eletrão ou positrão do meio, cuja energia é dada estatisticamente pela distribuição de Fermi-Dirac. Um estudo semelhante foi conduzido por H. A. Weldon para o caso de um plasma simétrico de fermiões e anti-fermiões sem massa, no regime de alta temperatura. Weldon mostrou que a correção térmica à auto-energia confere aos fermiões uma massa em repouso efetiva, a que podemos chamar massa térmica, que é diretamente proporcional à temperatura do plasma e à constante de acoplamento da teoria. Um outro resultado relevante do referido estudo foi a existência de quatro soluções da relação de dispersão do eletrão, em vez das duas encontradas no vácuo correspondentes à propagação de um fermião e de um anti-fermião. Mostrou-se que para além das duas soluções correspondentes ao fermião e anti-fermião termalizados, as duas soluções adicionais têm as propriedades correspondentes a excitações de lacuna e anti-lacuna. Em particular, a relação entre quiralidade e helicidade destas soluções é a oposta do fermião e anti fermião: enquanto que estas últimas, no limite de massa nula, apresentam igual valor próprio de quiralidade e helicidade, a lacuna e anti-lacuna têm quiralidade oposta à helicidade. Com o presente estudo pretende-se aplicar semelhante formalismo a um plasma altamente degenerado de eletrões massivos, no contexto da QED. Este sistema apresenta, por um lado, uma violação da quiralidade, introduzida pela massa finita dos eletrões, e por outro, uma assimetria entre partículas e anti-partículas devida à inexistência de positrões no banho térmico. Ambas estas características estavam ausentes no sistema estudado por Weldon e iremos observar que têm efeitos na relação de dispersão que não se observavam no caso estudado pelo autor. A relação de dispersão exata do eletrão é calculada sob a forma implícita, e apresenta-se graficamente o resultado numérico para um plasma com momento de Fermi pF = 200me, onde me é a massa do eletrão. Este valor é representativo da distribuição degenerada de eletrões presente no núcleo de uma estrela de neutrões, que se tomará como exemplo. Os resultados mostram a existência de uma massa térmica das soluções de eletrão e positrão, que escala com o momento de Fermi do plasma e com a constante de acoplamento. Observa-se também a presença de soluções de lacuna e anti-lacuna, tais como observadas na literatura. Para cada uma das quatro excitações do sistema obteve-se uma expressão aproximada da sua massa térmica. Uma das características observadas é a existência de uma diferença entre as massas térmicas do eletrão e da lacuna; mostrou-se que esta diferença é dada aproximadamente pela massa do eletrão, me. Esta característica é portanto exclusiva de plasmas massivos, e de facto não está presente nos resultados da literatura referida acima. Outra característica obtida na nossa análise é o facto de que as relações de dispersão obtidas para o eletrão e para o positrão são diferentes neste sistema, assim como as relações de dispersão de lacuna e anti-lacuna. Esta propriedade provém da assimetria entre matéria e anti-matéria do banho térmico, que contém apenas eletrões e não positrões; de facto, este resultado não foi observado por Weldon para o caso de um plasma simétrico de eletrões e positrões, o que se Justiça pelo facto de nesse sistema, a simetria entre matéria e anti-matéria presente no vácuo estar presente também no interior do plasma. Para além da comparação qualitativa entre os nossos resultados e aqueles obtidos na literatura, procede-se também a uma comparação quantitativa da massa térmica obtida em ambos os casos, com o intuito de contribuir para uma validação dos nossos resultados. Para tal, fazem-se as adaptações necessárias a uma comparação direta; nomeadamente, considera-se a presença adicional de uma distribuição de positrões com igual momento de Fermi, de modo a conferir simetria ao banho térmico, e adicionalmente toma-se o limite me → 0, que foi o caso estudado por Weldon. Observa-se um acordo entre as expressões obtidas e os resultados da literatura, para plasmas da mesma densidade. Os resultados obtidos poderão ser relevantes para o estudo de certos sistemas astrofísicos contendo distribuições degeneradas de eletrões. Este é o caso, por exemplo, do núcleo de uma supernova tipo II, que a partir da explosão colapsa abruptamente, dando eventualmente origem a uma estrela compacta, por exemplo uma estrela de neutrões. Durante o colapso, ocorre uma gradual compressão do material estelar; a determinada altura, este processo levará à degenerescência do gás de eletrões. Um gás degenerado de eletrões também está presente na fase ulterior de estrela de neutrões. Durante o colapso, assim como no interior da estrela de neutrões, ocorrem o decaimento β e β inverso, cujas taxas influenciam o equilíbrio químico entre protões, neutrões e eletrões. A existência de uma massa térmica do eletrão e positrão poderá afetar a cinemática destes processos e assim as suas taxas de decaimento. Por sua vez, isso poderá alterar as condições de equilíbrio no material estelar. Ao mesmo tempo, poderá também alterar a taxa de emissão de neutrinos e anti-neutrinos, que são produzidos em quantidades copiosas nestes corpos, principalmente durante a explosão das supernovas.