Synchronization of coupled oscillators

• Author(s): Maurício, Paulo José Severino
• Date: 2010
• Persistent ID: http://hdl.handle.net/10451/9107
• Origin: Repositório da Universidade de Lisboa
• Subject(s): Teses de mestrado - 2010
• Document Type: Master thesis
• Language: English
• Advisor(s): Nunes, Ana, 1958-; Freitas, Pedro Jorge, 1970-
• Contributor(s): Repositório da Universidade de Lisboa

Description

Tese de mestrado em Física (Física Estatística e Não Linear), apresentada à Universidade de Lisboa, através da Faculdade de Ciências, 2010

In this work we begin by introducing the Kuramoto model, constructing its solutions in the thermodynamic limit and showing the close connection between statistical physics and dynamical systems that lead to the main theoretical insights. The systematic study of a finite population of self sustained oscillators began in the first decade of this century. Unlike most of the papers we have found, we are not interested in the synchronization transition in itself but rather in phase locked patterns and their relation with frequency distribution among oscillators. The problem of stability, as we have already mentioned, experienced great advances in recent years. In a brief discussion we only address the problem of stability of the simplest solution allowed by the Kuramoto model: the incoherent solution. After that we introduce chimera states, first noticed by Kuramoto and his colleagues ([17] and references therein), in which the introduction of a non local coupling gives origin to a split in a region with synchronised oscillators and other with asynchronous one. Then we proceed by exploring the literature and the results with a finite number of oscillators, field explored with persistence only since mainly 2004 [29]. But here we are yet in Kuramoto framework which is abandoned, in a rigorous terminology, when we pursuit structured and not all-to-all coupling. Although we could introduce the same mean fields quantities if well defined in each situation, this did not help us in making sense of the results and is not an help in any analytical work. In our analysis of a ring of coupled oscillators we construct a space that allows us to relate the stable solutions with the eigenvectors of the laplacian of the graph in which we work.

Neste trabalho começamos por introduzir o modelo de Kuramoto e realizar a construção das suas soluções no limite termodinâmico, mostrando a relação estreita entre física estatística e sistemas dinâmicos que levaram aos desenvolvimentos mais significativos. O estudo sistemático das populações de osciladores com um número finito de elementos começaram na primeira década deste século. Ao contrário de muitos trabalhos nesta área, não estamos interessados no processo de sincronização em si mas antes em padrões de fases que surgem em sincronia e sua relação com a distribuição das frequências próprias entre osciladores. O problema da estabilidade das soluções teve grandes desenvolvimento nos últimos anos. Numa breve análise apenas atendemos ao problema da estabilidade da mais simples solução do modelo de kuramoto: a solução incoerente. Depois introduzimos as quimeras, estados de sincronização descobertos por Kuramoto e que resultam da introdução de acoplamento não local, resultando numa separação entre uma zona de sincronia e uma zona assíncrona num mesmo sistema. Prosseguimos analisando a literatura e os resultados conhecidos com um número finito de osciladores, um campo explorado de forma sistemática apenas após, grosso modo, 2004. Abandonamos o modelo de Kuramoto quando passamos ao estudo de um número finito de osciladores e introduzimos acoplamentos estruturados saindo do acoplamento de todos com todos. Nesta situação as quantidades de campo médio, na origem do êxito do modelo de Kuramoto, ficam sem utilidade evidente, ainda que caso a caso se possam ainda definir e trabalhar. A nossa análise num círculo onde os osciladores acoplam entre primeiros vizinhos e construímos um espaço onde podemos visualizar a relação entre as soluções estáveis e os vectores próprios do operador Laplaciano do grafo associado.