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On surfaces of general type with pg = q = 1 having an involution

Author(s): Rito, Carlos Manuel dos Santos Gonçalves cv logo 1

Date: 2007

Persistent ID: http://hdl.handle.net/10348/62

Origin: Repositório da UTAD

Subject(s): Matemática; Álgebra (Magma)


Description
O principal assunto desta tese é o estudo de superfícies S algébricas e projectivas de tipo geral com pg = q = 1 que têm uma involução i. Estuda-se também o caso pg = 1, q = 0 e S/i birracional a uma superfície K3. Involuções surgem em muitos contextos no estudo de superfícies algébricas. Por exemplo a não birracionalidade da aplicação bicanónica de uma superfície de tipo geral implica na maioria dos casos a existência de uma involução na superfície. A aplicação bicanónica Ø2 (definida pelo sistema linear 2KS) de superfícies de tipo geral S tem sido objecto de estudo por vários autores. Se a superfície S tem uma fibração de género 2, então a aplicação bicanónica de S é necessariamente composta com uma involução. Este é o chamado caso standard de não birracionalidade da aplicação bicanónica. Pelos resultados de Bombieri, [Bo], refinados mais tarde por Reider, [Rd], se uma superfície minimal S com K²S> 9 tem aplicação bicanónica não birracional, então S tem uma fibração de género 2, ou seja apresenta o caso standard. O caso não-standard é considerado em [Du], [CaCM], [CFM], [CM1], [CM2], [Xi2] e [Br], mas o caso pg = q = 1 n˜ao est´a ainda completamente classificado. Mais geralmente, superfícies de tipo geral com pg = q = 1 não estão bem compreendidas, e poucos exemplos são conhecidos. Se a superfície minimal S satisfaz pg = q = 1, ent˜ao 2 _ K2S_ 9 e a aplicação de Albanese é uma fibração conexa sobre uma curva elíptica. Seja g o género de uma fibra genérica da fibração de Albanese de S. Superfícies de tipo geral minimais com pg = q = 1 e K² = 2, 3 são classificadas em [Ca1], [CC1] e [CC2]. Superfícies com K² = 8 que são uma fibração isotrivial standard são classificadas em [Po1] e [Po4]. Para outros valores de K² temos apenas os exemplos de Catanese ([Ca2]), com (K2, g) = (4, 2), (5, 2), o exemplo de Xiao ([Xi1]), com (K², g) = (4, 2), e o exemplo de Ishida ([Is]), com (K², g) = (4, 3). Como já foi dito, o principal assunto desta tese é o estudo de superfícies S algébricas e projectivas de tipo geral com pg = q = 1 que têm uma involução i. Todorov, [To2], foi o primeiro a dar exemplos de superfícies S de tipo geral com pg = 1, q = 0 e aplicação bicanónica composta com uma involução i de S tal que S/i é birracional a uma superfície K3, ás quais chamamos superfícies de Todorov. Morrison, [Mo], descreve o espaço de moduli das superfícies de Todorov. Para K² = 1, Todorov mostra, em [To1], que a resolução W de S/i é um plano duplo com um modelo plano ramificado sobre duas cúbicas. Na Secção 3.1 demonstra-se que isto é verdade também para K² > 1 e dá-se um exemplo diferente dos exemplos de Todorov. Existem dois métodos usuais de construção de superfícies: Campedelli—coberturas duplas ramificadas sobre curvas (possivelmente singulares) — e Godeaux — quocientes por acção de um grupo (cf. [Re1]). Nesta tese o primeiro método é utilizado na obtenção de exemplos novos. Muitas vezes as singularidades impõem condições a mais sobre os parâmetros do sistema linear de curvas, o que implica cálculos complicados. Estes cálculos são efectuados utilizando o Sistema Algébrico Computacional MAGMA (V2.11-14) (ver http://magma.maths.usyd.edu.au/magma para mais informação sobre o Magma). Neste trabalho são dadas várias construções de superfícies S de tipo geral, não singulares e minimais, com pg = q = 1. Em [Po4], Polizzi classifica superfícies de tipo geral com pg = q = 1, K² = 8 e aplicação bicanónica de grau 2. Dá exemplos usando quocientes por acção de um grupo e mostra que estas superfícies são planos duplos de Du Val, descrevendo a curva de ramificação de um modelo plano correspondente (ver Teorema 1.3.2). Nas Secções 4.2.1 e 4.2.4 mostra-se como obter equações para tais curvas de ramificação. Na Secção 6.12 descreve-se como obter uma equação de um plano duplo com K² = 8 cuja aplicação bicanónica não é composta com a involução associada. The main subject of this thesis is the study of surfaces of general type S with pg = q = 1 having an involution i. For such surfaces one has 2 ≤ K²⁄S ≤ 9 and only few examples with K² = 2, . . . , 5 or 8 are known. The quotient surface S/i is a surface with pg ≤1 and q ≤ 1 and its Kodaira dimension, Kod(S/i), can be any. A list of possibilities for the case Kod(S/i) = —∞1 and bicanonical map ¢2 composed with i has been given by Xiao in [Xi2]. Here the computational algebra system Magma is used to compute equations of plane models of double planes with pg = q = 1 and K² = 2, . . . , 8. For Kod(S/i) ≤ 0 and ≤2 composed with i, we show that S/i is regular and either: a) the Albanese fibration of S is of genus 2 or b) S has no genus 2 fibration and S/i is birational to a K3 surface. For case a) a list of possibilities and examples are given. An example for case b) with K² = 6 is constructed. This last case was a possibility mistakenly excluded in [Xi2]. For the case ¢2 not composed with i, a list of possibilities is given and several new examples are obtained, mostly as bidouble covers of surfaces. In particular minimal surfaces of general type with pg = q = 1, K2 = 6, 7 and birational bicanonical map are constructed. The case pg = 1, q = 0 and S/i birational to a K3 surface is also considered. It is shown that the smooth minimal model W of S/i is a double plane, with a plane model ramified over two cubics. Tese Doutoramento em Matemática Pura, apresentada à Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro
Document Type Doctoral Thesis
Language English
Advisor(s) Lopes, Margarida Mendes
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