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Toeplitz operators with analytic symbols and corona problems

Author(s): Diogo, Cristina Isabel Correia cv logo 1

Date: 2009

Persistent ID: http://hdl.handle.net/1822/9927

Origin: RepositóriUM - Universidade do Minho

Subject(s): Toeplitz operator; Riemann-Hilbert problem; corona theorem; Wiener-Hopf factorization; AP factorization; Operador de Toeplitz; Problema de Riemann-Hilbert; Teorema da coroa; Factoriza????o de Wiener-Hopf; Factoriza????o AP; 519.6


Description
Tese de doutoramento em Ci??ncias The study of the properties of a Toeplitz operator TG with 2 x 2 symbol G is related with an appropriate factorization of G. In particular, TG is Fredholm if and only if G admits a Wiener-Hopf (WH) factorization and it is invertible if and only if this factorization is canonical. For almost periodic (AP) symbols, the so-called AP factorization appears as a natural generalization of the WH factorization, which does not exist for such matrices unless it is canonical. The existence and the actual determination of those factorizations are shown to be closely related to certain corona problems whose data are particular solutions to a Riemann-Hilbert problem Gh+ = h_, h?? ?? (H?????)??. In this thesis, on the one hand, conditions are established which are equivalent to the corona conditions but easier to verify, if G 1 are analytic and bounded in a strip of the complex plane. On the other and, new classes of symbols G, for which a non-trivial solution to the Riemann-Hilbert problem can be explicitly determined and the corona conditions can be veri ed by the above mentioned approach, are identi ed. Criteria for factorability of matrix function G in those classes are thus obtained. O estudo das propriedades de um operador de Toeplitz TG com um s??mbolo matricial 2 x 2, G, est?? relacionado com uma factoriza????o apropriada de G. Em particular, TG ?? de Fredholm se e s?? se G admite uma factoriza????o de Wiener-Hopf (WH) e ?? invert??vel se e s?? se essa factoriza????o ?? can??nica. Para s??mbolos quase-peri??dicos (AP), a chamada factoriza????o AP aparece como uma generaliza????o natural da factoriza????oo WH, a qual n??o existe para essas matrizes a menos que seja can??nica. Mostra-se que a exist??ncia e a determina????o dessas factoriza????es est??o intimamente relacionadas com certos problemas da coroa cujos dados s??o solu????es particulares do problema de Riemann-Hilbert Gh+ = h_, h?? ?? (H?????)??. Nesta tese, por um lado, s??o estabelecidas condi????es que s??o equivalentes ??s condi????es da coroa mas mais f??ceis de verificar, se G??1 forem fun????es matriciais anal??ticas e limitadas numa faixa do plano complexo. Por outro lado, s??o identificadas novas classes de s??mbolos G para as quais uma solu????o n??o trivial do problema de Riemann-Hilbert pode ser determinada explicitamente e as condi????es da coroa podem ser verificadas pela abordagem anterior. S??o assim obtidos crit??rios de factoriza????o de fun????es matriciais G nessas classes. Funda????o para a Ci??ncia e a Tecnologia (FCT), SFRH/BD/24007/2005; projecto PTDC/MAT/81385/2006 Programa POCI 2010/FEDER ISCTE - Instituto Universit??rio de Lisboa
Document Type Doctoral Thesis
Language English
Advisor(s) C??mara, Maria Cristina Carvalho de Aguiar; Vaz, Estelita
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