Modelo de Minkwoski para a Geometria de Laguerre

• Author(s): Portugal, Ricardo Filipe Marques
• Date: 2010
• Persistent ID: http://hdl.handle.net/10400.6/1848
• Origin: uBibliorum
• Subject(s): Geometria de Laguerre; Geometria de Lie; Geometria de Mobius; Espaço de Minkowski; Teorema de Pitágoras-Laguerre
• Document Type: Master thesis
• Language: Portuguese
• Advisor(s): Pacheco, Rui Miguel Nobre Martins
• Contributor(s): uBibliorum

Description

Este trabalho iniciou-se com um estudo prévio de pontos notáveis associados a três circunferências ([6], ver anexo) a partir de um lema de incidência no plano projectivo ([6], Lema 1). Particularizando ao caso das três circunferências estarem ex-inscritas a um triangulo, este lema parece estabelecer uma caracterização geométrica unificadora de muitos centros de Kimberling. Querendo explorar mais profundamente a riqueza geométrica destas configuracões, acreditamos que, para tal, seria interessante estabelecer uma generalização do Teorema de Ceva. Ora, a geometria de Laguerre será talvez o contexto teórico adequado a esta generalização. De facto, nesta geometria, pontos e circunferências são tratados como objectos matemáticos equivalentes. Por outro lado, em trabalhos recentes, tem sido colocada em evidencia a possibilidade de utilizar esta geometria, no ˆâmbito do seu modelo de Minkowski, para o estudo de problemas clássicos em geometria euclidiana. Neste trabalho procurámos apresentar de forma completa e detalhada as ideias e resultados principais que estão presentes em [2]. Em particular, começamos por definir, de acordo com os princípios de Félix Klein e do seu Programa de Erlangen, as geometrias de Lie, Laguerre e Mobius. De seguida, descrevemos o modelo de Minkowski para a geometria de Laguerre. Este ´e um modelo que é fácil de manipular e que evidencia de forma clara que o espaço subjacente `a geometria de Laguerre ´e um espaço homogéneo. Por fim, enunciamos e provamos um resultado que generaliza o clássico Teorema de Pitágoras. Em trabalho futuro, procuraremos aplicar algumas destas ideias na perspetiva de encontrar uma generalização adequada do Teorema de Ceva.

In the present note, we deduce some nice results concerning the geometry of three-circles from an easy incidence lemma in plane projective geometry. By particularizing to the case of the three excircles of a triangle, this lemma provides a unified geometric characterization of many interesting Kimberling centers.