Evaluation of ruin probabilities for surplus processes with credibility and sur...

• Author(s): Afonso, Maria de Lourdes Belchior
• Date: 2008
• Persistent ID: http://hdl.handle.net/10400.5/1113
• Origin: Repositório da UTL
• Subject(s): Ruin probabilities; Brownian motion approximation; translated gamma approximation; simulation; Surplus dependent premiums; Credibility premiums; Probabilidade de Ruína; Movimento Browniano; Aproximaçao à Gama deslocada; Simulacao; Prémios dependentes da reserva; Prémios de Credibilidade
• Document Type: Doctoral Thesis
• Language: English
• Advisor(s): Reis, Alfredo Egídio dos; Waters, Howard Richard

Description

In this dissertation we present a method for the numerical evaluation of the ruin prob¬ability in continuous and finite time for a classical risk process where the premium can change from year to year. A major consideration in the development of this methodology is that it should be easily applicable to large portfolios. Our method is based on the simu¬lation of the annual aggregate claims and then on the calculation of the ruin probability for a given surplus at the start and at the end of each year. We calculate the within-year ruin probability assuming first a Brownian motion approximation and, secondly, a translated gamma distribution approximation for aggregate claim amounts. We will check the accuracy of our method by comparing our results applied to the classical risk process with the results of Wikstad (1971) and Seal (1978b) in finite and continuous time. We also check its accuracy in the case of exponential and mixed expo¬nential claim amounts by choosing a very long time horizon and comparing results with exact results for infinite time ruin. We apply our method to three different risk models where the premium is set at the start of each year but can change from year to year. For each model aggregate claims have a compound Poisson distribution with either a fixed or a variable Poisson parameter for the claim number process. For the first model the premium in each year is a function of the surplus level at the start of that, or an earlier, year. The premium rate is set so that the probability of ultimate ruin from that time is approximately equal to a pre-determined value. We will use De Vylder's (1978) approximation to achieve that. For the second and third models we consider a portfolio of risks which satisfy the assumptions of the Btihlmann or Btihlmann-Straub credibility models with the pure premium updated each year in accordance with these models. E proposto um método para o cálculo da probabilidade de ruina em tempo contínuo e horizonte finito para um processo de Poisson composto onde o premio e constante ao longo de cada período de tempo (ano), mas depende da informação passada de indemnizacoes agregadas anuais. Em funçao disso, o premio e ajustado anualmente, passando a ser variavel de período para período. Um dos grandes contributos deste trabalho e o facto da metodologia apresentada ser facilmente aplicavel a carteiras de grande dimensao. O metodo e baseado na simulacão das indemnizacoes agregadas anuais e no calculo da probabilidade de ruína dado um determi¬nado montante de reserva no início e no fim do período. Este calculo da probabilidade de ruína e aproximado de duas formas: primeiro usando um movimento Browniano adequado e depois uma aproximaçao a distribuído gama deslocada. A coerencia dos resultados produzidos pelo modelo e testada comparando os resultados produzidos para o modelo clíassico de risco com o modelo-base e com os resultados exactos obtidos por Wikstad (1971) e por Seal (1978), em tempo contínuo e horizonte finito. O metodo e aplicado a tres modelos de risco diferentes em que o premio e actualizado no ínicio do ano. Para cada modelo as indemnizaçcãoes agregadas seguem uma distribuiçcãao de Poisson composta em que processo do nímero de sinistros tem o parâmetro de Poisson fixo ou variavel. No primeiro modelo o premio e definido como função do nível de reserva em algum momento anterior. O coeficiente de carga para o premio anual e determinado em cada caso de forma a probabilidade em horizonte infinito, partindo da reserva incial considerada, ser aproximadamente um valor pré-definido para o modelo classico. Para tal, e utilizada a aproximacão de De Vylder (1978). No segundo e terceiro modelos considera-se uma carteira que satisfaz as hipóteses dos modelos de credibilidade de Bühlmann e Bühlmann-Straub sendo o premio anual actualizado de acordo com estes modelos. Doutoramento em Matemática Aplicada à Economia e Gestão