Thresholds for epidemiological outbreaks

• Author(s): Martins, José Maria Gouveia
• Date: 2010
• Persistent ID: http://hdl.handle.net/1822/10565
• Origin: RepositóriUM - Universidade do Minho
• Subject(s): 51-76; 616-036.22
• Document Type: Doctoral thesis
• Language: English
• Advisor(s): Pinto, Alberto A.; Stollenwerk, Nico
• Contributor(s): Universidade do Minho

Description

Tese de doutoramento em Ciências (área de conhecimento em Matemática)

The characterization of the critical thresholds in epidemic models is probably the most important feature of the mathematical epidemiology research due to the drastic change of the disease spread on the critical threshold. Hence, the study of the critical thresholds and the epidemic behaviour near these thresholds, especially in the SIS and the SIRI epidemiological models, is present among all the chapters of this thesis. In chapter 2, we introduce the stochastic SIS model and study the dynamical evolution of the mean value, the variance and the higher moments of the infected individuals. To establish the dynamical equations for all the moments we develop recursive formulas and we observe that the dynamic of the m first moments of infecteds depend on the m + 1 moment. Using the moment closure method we close the dynamical equations for the m first moments of infecteds and we developed for every m a recursive formula to compute the equilibria manifold of these equations. In chapter 3, we consider equilibria manifold obtained from the dynamical equations for the m first moments of infecteds on the SIS model and we study when the stable equilibria can be a good approximation of the quasi-stationary mean value of infecteds. We discover that the steady states give a good approximation of the quasi-stationary states of the SIS model not only for large populations of individuals but also for small ones and not only for large infection rate values but also for infection rate values close to its critical values. In chapter 4, we consider the spatial stochastic SIS model formulated with creation and annihilation operators. We study the perturbative series expansion of the gap between the dominant and subdominant eigenvalues of the evolution operator of the model and we compute explicitly the first terms of the series expansion of the gap. In chapter 5, we present the reinfection epidemic SIRI model and study the dynamical equations for the state variables. We compute the phase transition diagram in the mean field approximation and observe the so called reinfection threshold. Moreover, we compute the phase transition lines analytically in pair approximation improving the mean field results.

A caracterização de limiares críticos em modelos epidemiológicos é provavelmente o aspecto mais importante da investigação matemática em epidemiologia, devido à mudança drástica da propagação epidémica no limiar crítico. Assim, o estudo dos limiares críticos e do comportamento epidémico junto destes limiares críticos, especialmente no modelo SIS e no modelo SIRI, está presente em todos os capítulos desta tese. No capítulo 2, introduzimos o modelo estocástico SIS e estudamos a evolução dinâmica do valor médio, da variância e dos momentos de ordem mais elevada da quantidade de indivíduos infectados. Para estabelecer as equações dinâmicas para os momentos de todas as ordens desenvolvemos fórmulas recursivas e observamos que a dinâmica dos m primeiros momentos depende do momento de ordem m + 1. Utilizando o método “moment closure” fechamos as equações dinâmicas para os m primeiros momentos da quantidade de indivíduos infectados e desenvolvemos para cada m uma fórmula recursiva que permite obter os equilíbrios resultantes da dinâmica dos momentos. No capítulo 3, consideramos os equilíbrios obtidos a partir das equações de variação dos m primeiros momentos da quantidade de indivíduos infectados, no modelo SIS, e estudamos quando é que os equilíbrios estáveis constituem boas aproximações do valor médio quase-estacionário desta quantidade. Descobrimos que estes equilíbrios fornecem uma boa aproximação dos estados quase-estacionários do modelo SIS, não só para populações de grande dimensão mas também de pequena dimensão e não só para valores elevados da taxa de infecção mas também para valores da taxa de infecção próximos do valor crítico. No capítulo 4, consideramos o modelo estocástico SIS com estrutura espacial, formulado a partir dos operadores de criação e de aniquilação. Estudamos a expansão em série da diferença entre o valor próprio dominante e subdominante do operador evolução deste modelo e calculamos explicitamente os primeiros termos desta expansão. No capítulo 5, apresentamos o modelo epidemiológico de reinfecção SIRI e estudamos as equações dinâmicas para as variáveis de estado. Calculamos o diagrama de transição de fase para a aproximação de campo médio e observamos o chamado limiar crítico de reinfecção. Além disso, calculamos as linhas de transição de fase analiticamente para a aproximação par, melhorando os resultados obtidos na aproximação de campo médio.

Fundação para a Ciência e a Tecnologia (FCT) - SFRH/BD/37433/2007.