Author(s): Diogo, Cristina Isabel Correia
Date: 2009
Persistent ID: http://hdl.handle.net/1822/9927
Origin: RepositóriUM - Universidade do Minho
Subject(s): Toeplitz operator; Riemann-Hilbert problem; corona theorem; Wiener-Hopf factorization; AP factorization; Operador de Toeplitz; Problema de Riemann-Hilbert; Teorema da coroa; Factorização de Wiener-Hopf; Factorização AP; 519.6
Tese de doutoramento em Ciências
The study of the properties of a Toeplitz operator TG with 2 x 2 symbol G is related with an appropriate factorization of G. In particular, TG is Fredholm if and only if G admits a Wiener-Hopf (WH) factorization and it is invertible if and only if this factorization is canonical. For almost periodic (AP) symbols, the so-called AP factorization appears as a natural generalization of the WH factorization, which does not exist for such matrices unless it is canonical. The existence and the actual determination of those factorizations are shown to be closely related to certain corona problems whose data are particular solutions to a Riemann-Hilbert problem Gh+ = h_, h± Є (H±∞)². In this thesis, on the one hand, conditions are established which are equivalent to the corona conditions but easier to verify, if G 1 are analytic and bounded in a strip of the complex plane. On the other and, new classes of symbols G, for which a non-trivial solution to the Riemann-Hilbert problem can be explicitly determined and the corona conditions can be veri ed by the above mentioned approach, are identi ed. Criteria for factorability of matrix function G in those classes are thus obtained.
O estudo das propriedades de um operador de Toeplitz TG com um símbolo matricial 2 x 2, G, está relacionado com uma factorização apropriada de G. Em particular, TG é de Fredholm se e só se G admite uma factorização de Wiener-Hopf (WH) e é invertível se e só se essa factorização é canónica. Para símbolos quase-periódicos (AP), a chamada factorização AP aparece como uma generalização natural da factorizaçãoo WH, a qual não existe para essas matrizes a menos que seja canónica. Mostra-se que a existência e a determinação dessas factorizações estão intimamente relacionadas com certos problemas da coroa cujos dados são soluções particulares do problema de Riemann-Hilbert Gh+ = h_, h± Є (H±∞)². Nesta tese, por um lado, são estabelecidas condições que são equivalentes às condições da coroa mas mais fáceis de verificar, se G±1 forem funções matriciais analíticas e limitadas numa faixa do plano complexo. Por outro lado, são identificadas novas classes de símbolos G para as quais uma solução não trivial do problema de Riemann-Hilbert pode ser determinada explicitamente e as condições da coroa podem ser verificadas pela abordagem anterior. São assim obtidos critérios de factorização de funções matriciais G nessas classes.
Fundação para a Ciência e a Tecnologia (FCT), SFRH/BD/24007/2005; projecto PTDC/MAT/81385/2006
Programa POCI 2010/FEDER
ISCTE - Instituto Universitário de Lisboa
