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Synchronization phenomena with nonlinear oscillators

Author(s): Barros, José Manuel Macedo Cota

Date: 2013

Persistent ID: http://hdl.handle.net/10451/10300

Origin: Repositório da Universidade de Lisboa

Subject(s): Sincronização; Van der Pol; Equações diferenciais; Não linear; Acoplamento; Circuitos; Teses de mestrado - 2013


Description

A sincronização é um fenómeno sobre organização, ou estados organizados, e que pode ser observado na natureza. Neste trabalho foi imposto o objetivo de estudar e observar este fenómeno, usando ferramentas matemáticas e laboratoriais. Como base para o trabalho foi escolhido o caso de dois osciladores acoplados. Este é o estado fundamental da dinâmica coletiva de sistemas acoplados, ou seja, mesmo no estudo de vários osciladores acoplados (n > 2), a dinâmica fundamental é a de primeiros vizinhos. Sabendo as condições necessárias, nomeadamente, a necessidade de um oscilador autossustentado, seguiu-se o modelo do oscilador de van der Pol, que é representado por uma equação diferencial não linear e homogénea. A dinâmica de osciladores acoplados é um estudo atualmente bastante desenvolvido, o que o torna muito diversificado. Sabendo que um modelo matemático - um oscilador autossustentado - pode modelar o batimento cardíaco, as reações químicas, os pêndulos, e muitos outros casos, o problema inicial é tentar compreender numa expressão geral o acoplamento. Sem levar o estudo da estabilidade à exaustão, referimos que para sistemas da forma do oscilador de van der Pol, com um acoplamento arbitrário que dependa das posições e velocidades, o sistema apresenta regimes estáveis. Desta forma, achámos interessante estudar, em particular, um acoplamento de primeiros vizinhos, através de uma constante denominada de constante de acoplamento. No capítulo 1 é apresentada uma introdução ao tópico de sincronização, ao oscilador de van der Pol, e à função de acoplamento. São utilizadas noções de topologia, de teoria de grafos, e dos sistemas dinâmicos na construção de uma base sólida para escrever as equações acopladas, justificando os termos de acoplamento. Neste mesmo capítulo são introduzidas outras noções importantes na compreensão do fenómeno e dos seus resultados, tal como fase, detuning, matriz de Kirchhoff e matriz de output. Como queremos saber resultados para as equações, foi igualmente necessária uma pesquisa de métodos perturbativos para resolução de equações diferenciais não lineares acopladas, a qual resultou no método desenvolvido por Nikolay Krylov e Nikolay Bogoliubov. Este é um método que mostra que, para certas condições, podemos considerar a fase e a amplitude constantes durante um período da oscilação, e como tal, podemos tomar a média temporal. Este método é desenvolvido no final do capítulo 1. É também justificada a necessidade de, para dois osciladores, encontrarmos uma equação da evolução da sua diferença de fase, o que nos dará uma medida para determinar se ocorreu, ou não, sincronização, visto que o sucesso implica que a diferença de fase, após transiente, deverá ser constante. Para o caso de mais osciladores, trataremos de estudar a diferença de fase entre cada 2 vizinhos. No capítulo 2 tratamos a sincronização em sua plenitude, voltando a apresentar as equações e resolvendo-as analiticamente e usando o método aproximado de Krylov-Bogoliubov de forma a se obter a expressão para a diferença de fase, mostrando passo-a-passo a sua dedução. Depois voltamos a resolver as equações mas desta feita numericamente, utilizando uma mudança de variáveis para coordenadas polares e obtendo expressões explícitas para as fases e as amplitudes de cada oscilador, e integrando a diferença de fase entre eles. Neste capítulo o objetivo passa por derivar estas equações, sendo que os resultados são apresentados no capítulo 4 depois de se realizar a parte experimental no capítulo 3. No capítulo 3 começamos por desenvolver as bases necessárias à aplicação experimental que traduza o comportamento do sistema acoplado. O uso de circuitos para comprovar experimentalmente a teoria é algo que foi sempre aceite no meio científico, e serve de aplicação prática rápida. É apresentado um circuito e justificada a correspondência matemática a um oscilador de van der Pol, para o qual se definem as quantidades essenciais como amplitude, e são apresentados os resultados de simulação e experimentais para o circuito. Em seguida é construído um circuito de acoplamento que respeite a função matemática de acoplamento mostrada nos capítulos anteriores, chegando-se a um complicado modelo. Na última parte deste capítulo é apresentado o sistema completo, com dois osciladores e o acoplamento, onde se faz o paralelismo entre os resultados de simulação e a correspondente componente experimental. De notar que a base para tal construção foi sempre um modelo teórico de um oscilador autossustentado, e um modelo teórico de uma função de acoplamento, e que o objetivo era comprovar a base teórica apresentada nos capítulos 1 e 2, usando componentes físicas que não respeitam a 100% as expressões matemáticas, no entanto, o leitor poderá verificar que os resultados são muito satisfatórios. No capítulo 4 confrontamos as ideias dos métodos teóricos e experimentais até então apresentados. O capítulo começa por um desenvolvimento das ferramentas essenciais para se verificar a correspondência da teoria com a prática. O essencial problema neste tópico foi a definição das variáveis e parâmetros da equação do oscilador de van der Pol como componentes do circuito acoplado. Depois de uma análise pormenorizada ao circuito, mostram-se as figuras de Lissajous que comprovam o fenómeno de sincronização e a ligação com a teoria. No capítulo 5 é apresentado um estudo similar ao conjunto dos capítulos anteriores, mas desta feita para 3 osciladores. A razão de se mostrar este caso particular baseia-se principalmente nos termos do acoplamento, que se modificam pelas alterações às partes teóricas e experimentais. São mostradas as equações para o método numérico e o de Krylov-Bogoliubov, tanto nos estados desacoplados como síncronos, e no fim do capítulo, é apresentado o procedimento experimental para 3 osciladores. No capítulo 6 fechamos o nosso trabalho com a extensão do estudo a mais osciladores acoplados segundo primeiros vizinhos. Depois de uma introdução a grafos mais complexos, surge a integração de 10 unidades de forma numérica. Em seguida estuda-se o fenómeno de sincronização sujeito à variação dos parâmetros. É tomada especial atenção à distribuição de frequências naturais, ou seja, à heterogeneidade do sistema. Este capítulo serve também de conclusão, apesar de que depois o leitor pode encontrar um conjunto de anexos que servem de complementação ao apresentado durante a tese.

Synchronization is a state in nature in which a dynamical system of multiple objects evolve together in a coupled motion. The most fundamental case in mathematics is the case of two coupled self-sustained oscillators, which is the starting point of this work. Coupled nonlinear oscillators is a subject related to many areas of science, from biology to economy. In this study we emphasize nearest neighbors coupling of systems of van der Pol oscillators, with an arbitrary coupling we refer in the text. In chapter 1 we introduce some definitions that are important to the understanding of the basic ideas behind synchronization. Some notions are related to topology and graph theory. Next, we develop a method to analyse coupled nonlinear differential equations, the Krylov-Bogoliubov method. We end chapter 1 discussing the importance of an equation for the phase difference, which should result in a constant value after transient into a synchronous regime. The mathematical tools showed in chapter 1 are used in chapter 2 in a analytical (polar coordinates transformation) and numerical (Krylov-Bogoliubov) analysis of two coupled van der Pol oscillators. The experimental part comes in chapter 3, where we build a circuit model which reproduces the coupled equations. The idea is to analyse, experimentally, the synchronization of oscillators, with a mathematical basis. In chapter 4 we end the analysis of two oscillators with a résumé of the theoretical and experimental results, with plots and conclusions. In chapter 5 we repeat the whole study for three coupled oscillators, in order to simulate the coupling terms for this case, and see the differences from the two oscillators case. This will result in the basis for the n oscillators case we deal in chapter 6, where we analyse ten coupled oscillators and its stability to changes in frequency range, and the order of the units in the ensemble.

Tese de mestrado em Física, apresentada à Universidade de Lisboa, através da Faculdade de Ciências, 2013

Document Type Master thesis
Language English
Advisor(s) Nunes, Ana, 1958-
Contributor(s) Barros, José Manuel Macedo Cota
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