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Teorema da estrutura de Furstenberg: demonstração e redução ao nível Www

Author(s): Pinto, Pedro Miguel dos Santos

Date: 2013

Persistent ID: http://hdl.handle.net/10451/10364

Origin: Repositório da Universidade de Lisboa

Subject(s): Teoria Ergódica; Teorema da estrutura de Furstenberg-Zimmer; Teorema de Szemerédi; Construtividade; Teses de mestrado - 2013


Description

Esta dissertação tem como tema principal apresentar a prova do Teorema da Estrutura de Furstenberg-Zimmer, que tem como consequência o Teorema de Furstenberg e o seu equivalente de Teoria dos Números, o Teorema de Szemerédi. Começamos por verificar casos particulares, de resolução mais simples, onde o Teorema de Furstenberg é válido: os sistemas weak-mixing e os sistemas compactos. Prossegue-se para uma relativização das propriedades anteriores e mostramos que é sempre possível obter uma sequência transfinita crescente de sistemas satisfazendo o Teorema de Furstenberg, culminando em toda a generalidade no Teorema da Estrutura. Numa segunda parte, iremos mostrar que não necessitamos de toda a força do Teorema da Estrutura para conseguirmos concluir o Teorema de Furstenberg: de facto ao nível ordinal www estamos já em condições suficientes para provar o teorema. Concluímos com algumas considerações sobre a construtividade do Teorema da Estrutura e do Teorema de Szemerédi.

The main subject of this dissertation is to present a proof of the Furstenberg-Zimmer Structure Theorem, from which one can obtain Furstenberg's Theorem and its equivalent number-theoretical version that goes by the name of Szemerédi's Theorem. We start by checking simpler particular cases where the Furstenberg's theorem is true, namely for weak-mixing systems and compact systems. We then proceed to a relativization of the previous properties and show that it is always possible to obtain a transfinite sequence of increasing systems satisfying Furstenberg's theorem, culminating in the most general case, the Structure's Theorem. In a second part, we will show that we do not need the full strength of the Structure Theorem in order to obtain Furstenberg's Theorem: at the ordinal level www we are already able to prove the theorem. We conclude with some considerations about constructivity regarding both the Structure's Theorem and Szemerédi's Theorem.

Tese de mestrado em Matemática, apresentada à Universidade de Lisboa, através da Faculdade de Ciências, 2013

Document Type Master thesis
Language Portuguese
Advisor(s) Ferreira, Fernando, 1958-; Duarte, Pedro Miguel Nunes da Rosa Dias
Contributor(s) Pinto, Pedro Miguel dos Santos
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