Asymptotic stability for population models and neural networks with delays

• Author(s): Oliveira, José Joaquim Martins, 1977-
• Date: 2008
• Persistent ID: http://hdl.handle.net/10451/1563
• Origin: Repositório da Universidade de Lisboa
• Subject(s): Análise matemática; Teses de doutoramento - 2008
• Document Type: Doctoral thesis
• Language: English
• Advisor(s): Faria, Teresa, 1958-
• Contributor(s): Repositório da Universidade de Lisboa

Description

Tese de doutoramento em Matemática (Análise Matemática), apresentada à Universidade de Lisboa através da Faculdade de Ciências, 2008

In this thesis, the global asymptotic stability of solutions of several functional differential equations is addressed, with particular emphasis on the study of global stability of equilibrium points of population dynamics and neural network models. First, for scalar retarded functional differential equations, we use weaker versions of the usual Yorke and 3/2-type conditions, to prove the global attractivity of the trivial solution. Afterwards, we establish new sufficient conditions for the global attractivity of the positive equilibrium of a general scalar delayed population model, and illustrate the situation applying these results to two food-limited population models with delays. Second, for n-dimensional Lotka-Volterra systems with distributed delays, the local and global stability of a positive equilibrium, independently of the choice of the delay functions, is addressed assuming that instantaneous negative feedbacks are present. Finally, we obtain the existence and global asymptotic stability of an equilibrium point of a general neural network model by imposing a condition of dominance of the nondelayed terms. The generality of the model allows us to study, as particular situations, the neural network models of Hop_eld, Cohn-Grossberg, bidirectional associative memory, and static with S-type distributed delays. In our proofs, we do not use Lyapunov functionals and our method applies to general delayed di_erential equations.

Nesta tese estuda-se a estabilidade global assimptótica de soluções de equações diferenciais funcionais que, pela generalidade com que são apresentadas, possuem uma vasta aplicabilidade em modelos de dinâmica de populações e em modelos de redes neuronais. Numa primeira fase, para equações diferenciais funcionais escalares retardadas, assumem-se novas versões das condições de Yorke e tipo 3/2 para provar a atractividade global da solução nula. Seguidamente, aplicam-se os resultados obtidos a um modelo geral de dinâmica de populações escalar com atrasos, obtendo-se condições suficientes para a atractividade global de um ponto de equilíbrio positivo, e ilustra-se a situação com o estudo de dois modelos conhecidos. Numa segunda fase, para sistemas n-dimensionais de tipo Lotka-Volterra com atrasos distribuídos, estuda-se a estabilidade local e global de um ponto de equilíbrio positivo (caso exista) assumindo condições de dominância dos termos com atrasos pelos termos sem atrasos. Por último, novamente assumindo condições de donimância, obtém-se a existência e estabilidade global assimptótica de um ponto de equilíbrio para um modelo geral de redes neuronais com atrasos. A generalidade do modelo estudado permite obter, como situações particulares, critérios de estabilidade global para modelos de redes neuronais de Hopfield, de Cohn-Grossberg, modelos de memória associativa bidireccional e modelos estáticos com atrasos distribuídos tipo-S. De referir que as demonstrações apresentadas não envolvem o uso de funcionais de Lyapunov, o que permite obter critérios de estabilidade para equações diferenciais funcionais bastante gerais.

Universidade do Minho (UM), Departamento de Matemática (DMAT), Centro de Matemática (CMAT); Fundação para a Ciência e Tecnologia (FCT).