Author(s): Ferreira, Sérgio Miguel Abreu
Date: 2009
Persistent ID: http://hdl.handle.net/10451/3713
Origin: Repositório da Universidade de Lisboa
Subject(s): Path-dependent options; Opções com barreira; Constant elasticity of variance model; Transformada de Laplace; Método de Abate and Whitt; Teses de mestrado - 2009
Tese de mestrado, Matemática Financeira, Universidade de Lisboa, Faculdade de Ciências, 2009
O objectivo desta tese é encontrar uma fórmula analítica fechada que permita avaliar opções com barreira do tipo knock-out assumindo os pressupostos do modelo CEV. O modelo de Black and Scholes (1973) veio revolucionar os mercados financeiros, pois permitiu obter fórmulas fechadas para avaliação de opções. Este modelo assentava no pressuposto de que o preço de o activo subjacente seguia um movimento Browmniano, e como tal assumia uma distribuição lognormal. Merton (1973) usando esses pressupostos obteve fórmulas fechadas que permitem avaliar as opções Europeias standard de compra e de venda. No entanto, evidências empíricas foram pondo em causa os pressupostos do modelo de Black and Scholes (1973), nomeadamente o pressuposto de que a variância do activo subjacente é constante. Com o intuito de resolver este problema foram surgindo novos métodos para a avaliação de opções, e é assim que surge o modelo da Constant Elasticity of Variance (CEV) que é desenvolvido por Cox (1975). O modelo CEV é desenvolvido de forma a incorporar o efeito designado por volatility smile que é evidenciado pelo mercado. Desta forma, para o modelo CEV a volatilidade não é constante e passa a depender do preço do activo. Ao longo do tempo foram sendo comparados os resultados obtidos pelo modelo de Black and Scholes (1973) e pelo modelo CEV, e por exemplo Macbeth and Merville (1980) e tem-se concluído pela superioridade do modelo CEV, especialmente nos caso em que θ<2. Sendo que a diferença entre os modelos ainda é mais evidente na avaliação de opções cujo payoff depende do preço do activo subjacente ao longo do seu passado, como é o caso das opções com barreira, como concluíram Boyle and Tian (1999). É com base neste modelo CEV que nesta tese me proponho a obter uma fórmula fechada para avaliar opções com barreira do tipo Knock-Out. Esta fórmula será obtida escrevendo o payoff final, de uma opção com dupla barreira do tipo Double Knock-Out, em termos da sua transformada de Laplace. Esta transformada de Laplace será depois invertida usando o método de Abate and Whitt (1995). Para validar as várias equações obtidas elas serão implementadas computacionalmente, desenvolvendo para tal um programa em C++. A presente tese será organizada da seguinte forma: Na Secção 2 serão introduzidas as opções com barreira. Na Secção 3 será explicado o modelo CEV e seus pressupostos. Na secção 4 partindo da definição do payoff final de uma opção com dupla barreira do tipo Knock-Out será encontrada a expressão analítica da sua transformada de Laplace. Da mesma forma usando a definição de primeiro tempo de entrada, ou saída, será deduzida a expressão analítica da transformada de Laplace do valor do Rebate. Na Secção 5 abordarei o método de Abate and Whitt (1995) e serão definidos os parâmetros a utilizar nesse método. Na secção 6 as expressões analíticas encontradas serão implementadas usando um programa C++, e serão apresentados os resultados obtidos pelo programa na avaliação de opções com barreira do tipo Knock-Out. Na Secção 7 serão apresentadas as conclusões dos resultados obtidos com o programa.
The aim of this thesis is to .find a closed-form solution for evaluation of knock-out barrier options under the Constant Elasticity of Variance model. To achieve this goal, the pricing solution of the double knock out barrier option is written in terms of Laplace Transforms, that are inverted using the Abate and Whitt Euller method. Then the analytical solution is implemented using a C++ program.
