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Complex positive definiteness, including characteristic and moment generating functions

Author(s): Symeonides, Alexandra

Date: 2013

Persistent ID: http://hdl.handle.net/10451/9645

Origin: Repositório da Universidade de Lisboa

Subject(s): Funções definidas positivas; Análise complexa; Funções características e outras transformadas; Teses de mestrado - 2013


Description

A partir do início do século passado, as funções definidas positivas foram objecto de estudos em muitas e diferentes áreas da matemática como teoria da probabilidade, teoria dos operadores, análise de Fourier etc. Foi por causa disto que notações e generalizações das funções definidas positivas provenientes das diversas áreas nunca foram reunidas numa única doutrina. O propósito desta tese, é estudar com maior detalhe funções definidas positivas de variável complexa em domínios particulares do plano complexo. No Capítulo 1, daremos a definição de função definida positiva, algumas propriedades básicas, o teorema de representação de Bochner e também algumas propriedades diferenciais destas funções. Em particular, vamos considerar o caso de função definida positiva e analítica sobre o eixo real e vamos ver, como neste caso, é possível estender a função ao plano complexo, assim generalizando o conceito de função definida positiva no caso de função de variável complexa. É a partir deste resultado devido a Z. Sasvari, see [2], que J. Buescu e A. C. Paixão deram a primeira definição de função definida positiva de variável complexa, sem requerer nenhuma ulterior regularidade sobre a função. Veremos, como muitas das propriedas básicas e diferenciais de funções definidas positivas reais são válidas também no caso complexo com generalizações oportunas. Alem disso, J. Buescu e A. C. Paixão caracterizaram os conjuntos do plano complexo onde a definição de função definida positiva está bem dada, e chamaram a estes conjuntos codifference sets. Enfim, neste Capítulo 1, vamos apresentar também o conceito de função real co-definida positiva e vamos estudar relações e analogias desta função com as de uma função definida positiva clássica. Por exemplo, enunciaremos o análogo do teorema de Bochner, o teorema de Widder, que garante a existência de uma representação integral para funções co-definidas positivas. No Capítulo 2, vamos estudar funções definidas positivas, mas a partir de um ponto de vista da teoria da probabilidade. De facto, a notação probabilística revela-se particularmente útil quando se trabalha com representações integrais de funções definidas positivas, sejam de variável real ou de variável complexa. Os teoremas de representação de Bochner e de Widder para funções respectivamente definidas e co-definidas positivas explicitam a relação destas funções com a bem conhecida ferramenta da teoria da probabilidade, ou seja funções características, funções geradoras dos momentos e problema dos momentos. Portanto, iremos estudar estas funções na óptica do nosso interesse acerca das funções definidas positivas, logo não iremos fornecer uma clássica revisão desta ferramenta, que de facto pode ser encontrada em qualquer manual de teoria da probabilidade. Referimos por exemplo os livros de J. S. Rosenthal [13] e de R. Ash [1]. Enfim, no Capítulo 3, vamos concentrar-nos sobre funções definidas positivas de variável complexa em faixas do plano complexo. De facto, veremos como as faixas parecem ser os únicos conjuntos onde faz sentido considerar uma função definida positiva que possui um mínimo de regularidade. Provar isto, foi um dos propósitos, indirectos, desta tese. De facto, os resultados desta tese sugerem e não refutam, mas ainda não provam, a suposição precedente. Daremos condições sobre funções complexas definidas positivas em faixas para garantir a existência e eventualmente a unicidade de uma representação integral. Observaremos, que a existência ou não desta representação depende da regularidade da função e que a regularidade da função em toda a faixa é dominada pela regularidade da função sobre o intervalo do eixo imaginário que intersecta a faixa considerada. Em particular, iremos provar que uma função complexa definida positiva numa faixa que seja pelo menos contínua no intervalo do eixo imaginário que intersecta a faixa é de facto uma função analítica em toda a faixa. Também, demonstraremos que uma função analítica definida positiva numa faixa do plano complexo possui uma única representação integral. Alem disso, daremos uma generalização no caso complexo do problema de extensão para funções definidas positivas. Veremos como, dada uma função definida positiva num codifference set qualquer, nas componentes conexas do codifference set que intersectam o eixo imaginário é possível, com forme a regularidade da função, estender a função e a propriedade de ser definida positiva, a todas as faixas horizontais que contém as componentes conexas do codifference set original. Infelizmente, veremos também como este conjunto de resultados resolve só parcialmente a questão de estabelecer as faixas como codifference sets por excelência.

In Chapter 1, we will give the defnition of positive definite functions on R and we will present some basic and differential properties of these functions. In particular, we will consider the case of analytic positive definite functions on R in order to construct continuations to the complex plane. In view of this, we will present the definition of complex-variable positive definite function mainly due to J. Buescu and A. Paixão and we will see how several of the differential properties valide in the real case can be generalized in the complex settings. Moreover, is given here the notion of codifference set as the set of the complex plane in which the definition of complex positive definite function is well-given. In Chapter 1, we will also introduce another similar property to positive definiteness, namely co-positive definiteness. In Chapter 2, we will look at the concept of positive definite function from a probabilistic point of view. In order to do that, we will recall the notion of characteristic function and moment generating function and we will show how, thanks to Bochner's and Widder's representation theorems, these objects respectively correspond to positive definite and co-positive definite functions. Furthermore, we will present the so-called moment problem. In Chapter 3 we will focus on complex-variable positive definite functions on strips of the complex plane. We tried to understand under which conditions a complex positive definite function on a strip benefits of an integral representation and eventually when it is unique. We found out that the existence or not of such a representation depends on the regularity of the function; and that the regularity of a complex positive definite function on a strip is completely imposed by the regularity of the function on the interval of the imaginary axis contained in the strip. Moreover, we will state a generalization of the extension problem for complex positive definite function.

Tese de mestrado em Matemática, apresentada à Universidade de Lisboa, através da Faculdade de Ciências, 2013

Document Type Master thesis
Language English
Advisor(s) Buescu, Jorge, 1964-
Contributor(s) Symeonides, Alexandra
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