Applications of dynamical systems to economical and biological sciences

• Author(s): Ferreira, Luís Miguel Mesquita da Silva
• Date: 2010
• Persistent ID: http://hdl.handle.net/1822/11052
• Origin: RepositóriUM - Universidade do Minho
• Subject(s): 51-7
• Document Type: Doctoral thesis
• Language: English
• Advisor(s): Pinto, Alberto A.; Oliveira, Bruno Miguel Paz Mendes de
• Contributor(s): Universidade do Minho

Description

Tese de doutoramento em Ciências (ramo de conhecimento em Matemática)

In this PhD thesis, several concepts of distinct areas of Mathematics, such as Dynamical Systems, Game Theory and Statistics are applied to Economical and Biomedical Sciences. The Patent Licensing is studied in a Cournot competition framework, the General Equilibrium Theory is approached in terms of Edgeworthian economies and the subject of Immunology is covered through models with Regulatory T cells. Cournot competition Models: We consider a Cournot competition model with a cost reducing R&D investment program. A new R&D cost reduction investment function inspired by the logistic equation is introduced. We compare the results obtained using our cost reduction investment function with the ones obtained using d’Aspremont and A. Jacquemin’s cost reduction investment function. We study the underlying model and find the existence of different Nash investment regions: a competitive Nash investment region, a single Nash investment region and a nil Nash investment region. Moreover, we find regions with multiple Nash investment equilibria. We present an exhaustive characterization of the boundaries of the different economical regions that are found. For low production costs, that can correspond to the production of old technologies, the long term economical effects are not very sensitive to small changes in the efficiency of the R&D programs neither to small changes in the market structure. However, for high production costs, that can correspond to the production of new technologies, the long term economical effects are very sensitive to small changes in the efficiency of the R&D programs and also to small changes in the market structure. Edgeworthian economies Models: General equilibrium theory assumes an interaction between the participants that is both global and anonymous. The studied models, random matching games, introduce mechanisms of direct exchange in an Edgeworth exchange economy where two goods are traded in a market place. We prove, under the appropriate assumptions, that the expected value of the logarithm of the limiting bilateral Walras equilibrium price is equal to the logarithm of the global Walras equilibrium price. We also consider a modification to this model in which participants have different bargaining skills meaning that participants do not necessarily trade according to their bilateral Walras equilibrium price. The trade occurs such that the more skilled bargainer takes advantage of his edge when exchanging with a less skilled bargainer. When the market has a group of low skilled bargainers and a group of high skilled bargainers, the smaller of these two groups shows a higher median increase on the value of the utilities of the participants. Finally, we let the bargaining skills of the participants be a continuous variable that evolves along the iterations according to one of the following rules: a) the bargaining skills of the pair of participants decrease if they were able to trade and increases otherwise; b) the bargaining skills of the pair of participants increases if they were able to trade and decreases otherwise. We observe that for rule a) the bargaining skills of each participant converge to one of two possible extreme values, and that for rule b) the bargaining skills of all participants converge to a single intermediate bargaining skill value. Immune response Models: The consequences of regulatory T cell (Treg) inhibition of interleukine 2 secretion are examined by mathematical modeling. We determine the analytic formula that describes the fine balance between Regulatory T cells and T cells at controlled and immune response equilibrium states. We demonstrate that cytokine dependent growth exhibits a quorum T cell population threshold that determines if immune responses develop on activation. We also determine the analytic formulas of T cell proliferation thresholds that allow the study of the sensibility of the quorum growth thresholds controlling immune responses. We introduce an asymmetry reflecting that the difference between the growth and death rates can be higher for the active T cells and Tregs than for the inactive. This asymmetry can be due to the existence of memory T cells and explains why slow increases of the antigenic stimuli do not lead to an immune response, but fast increases provoke an immune response. Finally, we study the bystander proliferation in the immune response model with the asymmetry. An exposure to a pathogen results in an increased proliferation rate of the bystander T cells. If the population of the bystander T cells becomes large enough, autoimmunity can arise, eventually after a long transient period.

Nesta Tese de Doutoramento diversos conceitos de áreas distintas da Matemática tais como Sistemas Dinâmicos, Teoria de Jogos e Estatística são aplicados a Ciências Económicas e Biomédicas. O Licenciamento de Patentes é estudado através de modelos de competição de Cournot, a Teoria do Equilíbrio Geral é abordada através de modelos de economias de Edgeworth e na Imunologia são estudados modelos de células T reguladoras. Modelos de Competição de Cournot Consideramos um modelo de competição de Cournot com programas de investigação e desenvolvimento (ID) na redução de custo. ´E introduzida uma nova função de redução de custo inspirada na função logística. Comparamos os resultados obtidos usando a nossa função de investimento na redução de custo com a função de investimento na redução de custo de d’Aspremont e Jacquemin. Estudamos o modelo correspondente e encontramos a existência de diferentes regiões de investimento: uma região de investimento competitiva, uma região de investimento singular e uma região de investimento nulo. Encontramos ainda uma região com múltiplos equilíbrios de Nash no investimento. Para custos de produção baixos, que podem corresponder a tecnologias antigas, os efeitos económicos a longo prazo não são muito sensíveis a pequenas alterações na eficiência do programa de investigação e desenvolvimento. Contudo, para custos de produção altos, que podem corresponder a tecnologias mais recentes, os efeitos económicos a longo prazo são muito sensíveis a pequenas alterações na eficiência do programa de investigação e desenvolvimento. Modelo de economias Edgeworthianas A Teoria do Equilíbrio Geral assume uma interacção entre os participantes que é global e anónima. Os modelos estudados, modelos de encontros de trocas aleatórias, introduzem mecanismos de troca directa numa economia de Egdeworth onde dois bens são trocados num mercado. Provamos que, sob as hipóteses apropriadas, o valor esperado do logaritmo do preço de equilíbrio de Walras limite é igual ao logaritmo do preço de equilíbrio de Walras global. Também consideramos uma modificação deste modelo no qual os participantes têm diferentes capacidades de negociação (aptidão) significando que eles nem sempre negoceiam de acordo com o equilíbrio de Walras bilateral. As trocas ocorrem de modo a que o jogador mais apto tenha vantagem quando a negociar com um jogador menos apto. Quando o mercado tem um grupo de participantes pouco aptos e outro grupo de participantes mais aptos, o mais pequeno dos dois grupos, evidencia um maior aumento na mediana para o valor das utilidades dos participantes. Finalmente, assumimos que a capacidade de negociação dos participantes é uma variável contínua que evolui ao longo das iterações de acordo com uma das seguintes regras: a) as capacidades de negociação do par de participantes decrescem se esse par conseguiu negociar e crescem caso contrário; b) as capacidades de negociação do par de participantes aumentam se esse par conseguiu trocar e decrescem caso contrário. No caso da regra a) as capacidade de negociação dos dois participantes convergem para um de dois valores possíveis enquanto que no caso da regra b) as capacidade de negociação dos dois participantes convergem para um único valor intermédio. Modelos de resposta imunitária As consequências da inibição da secreção da interleucina 2 pelas células T reguladoras (Treg) são examinadas por modelação matemática. Determinamos a fórmula que descreve o balanço fino entre as células T reguladoras e as células T em equilíbrios correspondentes a estados controlados e de resposta imunitária. Demonstramos que a proliferação dependente de citocinas exibe um quórum limiar da população de células T que determina se após activação será desenvolvida uma resposta imunitária. Também determinamos as fórmulas analíticas dos limiares de proliferação de células T que permitem estudar a sensibilidade dos quóruns limiares de crescimento que controlam as respostas imunitárias. Introduzimos uma assimetria para reflectir que a diferença entre a taxa de crescimento e de mortalidade pode ser maior para as células T e Tregs activas do que para as inactivas. Esta assimetria pode dever-se `a existência de células T de memória e explica a razão pela qual aumentos lentos dos estímulos antigénicos não levam a uma resposta imunitária, mas aumentos rápidos provocam uma resposta imunitária. Finalmente, estudamos a proliferação de células espectadoras no modelo de resposta imunitária com assimetria. A exposição a um patogénico resulta num aumento da taxa de proliferação das células T espectadoras. Se a população destas células T espectadoras se tornar suficientemente grande, pode surgir autoimunidade eventualmente após um longo período transiente.

Fundação para a Ciência e a Tecnologia (FCT) - SFRH/BD/27706/2006