Author(s): Cruz, Pedro Filipe Matos da
Date: 2014
Persistent ID: http://hdl.handle.net/10451/15571
Origin: Repositório da Universidade de Lisboa
Subject(s): Obrigações; Resgate de obrigações; Filtros de Kalman; Expansão de Kimmel; Modelos de forma reduzida; Teses de mestrado - 2014
Tese de mestrado em Matemática Financeira, apresentada à Universidade de Lisboa, através da Faculdade de Ciências, 2014
O preço de um qualquer ativo financeiro depende dos riscos que estão associados aos seus pagamentos prometidos, de modo que uma quantificação de esses riscos é essencial. Um investidor está apenas disposto a incorrer em certos riscos se tiver a perspetiva de ser adequadamente remunerado por eles. Nesta tese tem-se por objetivo a descrição de modelos que quantifiquem o risco de incumprimento e o risco associado às provisões de resgate de obrigações. Um dos métodos mais utilizados para analisar o risco de incumprimento são os chamados modelos estruturais que ligam a probabilidade de incumprimento ao valor dos ativos da empresa. Estes têm no entanto algumas limitações. Em particular nestes modelos não são possíveis quedas acentuadas no preço de obrigações emitidas por uma qualquer empresa, o que é muitas vezes observado na prática. Isto porque não é possível nos modelos estruturais que a falência do emitente surja como um evento imprevisto. Outro tipo de modelos utilizados para modelar o risco de incumprimento são os modelos em forma reduzida. Nestes podemos ter de facto a falência de uma empresa como um evento inesperado. O evento de incumprimento é modelado pelo primeiro salto num processo de Cox e podemos assim obter uma redução drástica no processo de uma obrigação. Além disso, também o risco associado à compra de uma obrigação com provisão de resgate pode ser modelado através dos modelos em forma reduzida, uma vez que podemos considerar o evento de resgate como o primeiro salto de um processo de Cox. Os processos de Cox são descritos no Apêndice C enquanto que uma introdução às diferenças entre modelos estruturais e modelos em forma reduzida é feita no Capítulo1. Os resultados matemáticos mais importantes surgem no Apêndice B, enquanto que definições sobre obrigações se encontram no Apêndice A. No Capítulo 2 são apresentados os modelos em forma reduzida na perspetiva de Lando, ou seja, usando os processos de Cox. Com o pressuposto, devido a Duffie e Singleton, de que recuperamos uma fracção do valor de mercado da obrigação no momento de incumprimento ou no momento de resgate, mostra-se que o valor da obrigação num dado momento pode ser escrito da mesma forma que o valor de uma obrigação que não está sujeita a risco de incumprimento, mas agora a taxa de desconto é uma taxa efetiva, no sentido em que pode ser decomposta em várias componentes, sendo uma delas a taxa usada para avaliar obrigações sem risco de incumprimento, mas adicionando agora uma componente devido a esse risco. Isto permite que usemos os métodos já conhecidos para avaliar obrigações do tesouro (sem risco de incumprimento) e aplicá-los a emitentes que podem falir. Em particular vamos utilizar os modelos afim na especificação de Dai e Singleton , descritos no Apêndice D. No Capítulo 3 são descritos os modelos que utilizam os modelos afim com o objectivo de descrever as taxas efetivas. Em particular é utilizado o modelo de Dufee para avaliar obrigações com risco de incumprimento mas que não têm provisões de resgate. O autor utiliza uma forma menos geral da que é permitida pelos modelos afim, mas que é muito utilizada na literatura | os modelos CIR. Nestes modelos as variáveis que explicam a taxa efetiva tendem para um valor de equilíbrio, podendo deslocar-se deste dado um forçamento estocástico e que depende do valor da variável. Isto é requerido pelas observações para o caso das taxas do tesouro. Para o caso de obrigações que não só têm risco de incumprimento como também têm provisões de resgate, em que esse resgate é feito a um custo fixo pré-determinado, então utilizamos o modelo de Jarrow et al. Semelhante ao de Dufee, socorre-se dos métodos CIR, mas agora apresentando a taxa efetiva a depender de forma não-linear de uma das variáveis de estado que explicam essa taxa efetiva. Não são conhecidas fórmulas analíticas para a nova forma do fator de desconto dos pagamentos da obrigação. No entanto, os resultados de Kimmel permitem-nos obter uma aproximação em séries de potências que é uniformemente convergente, querendo isto dizer que a convergência da série para a função que descreve o valor esperado do valor descontado dos pagamentos prometidos não depende da maturidade da obrigação que se está a considerar. Estes resultados, devidos a Kimmel, são também úteis para o caso do modelo de Park e Clark, que tenta modelar a taxa efetiva de uma obrigação com risco de incumprimento e com provisão de resgate, mas agora o preço que o emitente paga pelo resgaste não é um valor fixo pré-determinado, mas antes um valor que é o máximo entre o valor facial da obrigação e o valor descontado dos pagamentos restantes prometidos descontados a uma taxa que é a soma da taxa do tesouro que vigora no momento do resgate mais um prémio a que se convenciona chamar de prémio de resgate. Tem-se no entanto a semelhança de uma taxa efetiva não-linear nas variáveis de estado, sendo essa forma de não-linearidade igual ao caso de Jarrow et al e portanto podem-se aplicar os resultados de Kimmel que funcionam com esta forma de não-linearidade. Com todos estes três modelos para as respetivas taxas efetivas escrevem-se os respetivos valores das obrigações em termos dos parâmetros das dinâmicas das variáveis de estado e dos próprios valores dessas variáveis de estado. Tendo as fórmulas analíticas para a avaliação das obrigações podemos usar dados observacionais de taxas do tesouro e de preços de obrigações para comparar com os modelos, o que é feito no Capítulo 4. Tem-se que obter o valor dos parâmetros e das variáveis de estado, o que é feito com filtros de Kalman descritos no Apêndice F. Estes consideram que cada observação pode ter um erro observacional associado e, para um determinado vetor de parâmetros, obtém o valor das variáveis de estado que faz com que o erro de previsão de uma observação dado todos os valores observacionais anteriores seja mínimo. Em conjunto com um método de minimização que funciona em paralelo varia-se o vetor de parâmetros de modo a obter os erros mínimos. Isto é feito em primeiro lugar para taxas de tesouro usando um método CIR com dois fatores. De seguida faz-se o mesmo com preços de obrigações para dois emitentes diferentes, cada um com uma obrigação com risco de incumprimento e sem provisão de resgate, tendo um deles ainda uma obrigação com provisão de resgate a custo fixo e o outro uma obrigação com provisão de resgate a preço estocástico. Em todos os casos podemos, com o valor dos parâmetros e dos valores das variáveis de estado obtidos, criar um vetor de preços através das fórmulas de avaliação dadas no Capítulo 2 e compará-las com os dados observacionais. Além disso, para obrigações com provisão de resgate a custo fixo, considera-se ainda um modelo semelhante ao modelo de Jarrow et al, mas ligeiramente alterado de modo a que seja incluída mais uma dependência não-linear numa variável, o que é fundamentado pelo mesmo argumento que nos leva ao modelo de Park e Clark. No Capítulo 5, e considerando os resultados que se obtiveram no Capítulo 4, conclui-se quanto à capacidade dos modelos usado em explicar as observações.
In this thesis the reduced form models for pricing non-callable and callable corporate bonds are studied. The default and call times are considered as the first jump of a Cox process, as done in Lando . With the recovery of market value assumption of Duffie and Singleton we show that the price of defaultable non-callable and callable bonds can be written as the price of a non-defaultable bond, but considering an adjusted rate. With this we can use the results known from short{rate models, particularly the affine term structural models. We consider the models of Duffee, Jarrow et al and Park and Clark to price non-callable bonds, callable bonds and bonds with make-whole call provisions, respectively. Given the non-linear dependence on the state variables we have to use the results of Kimmel to find a closed-form approximation for the price of bonds with call provisions. We then used extended Kalman filters to estimate the models parameters and see how well they fit to corporate bond data.
