Autor(es): Rodrigues, Inês Martins
Data: 2015
Identificador Persistente: http://hdl.handle.net/10451/23616
Origem: Repositório da Universidade de Lisboa
Assunto(s): Partições; Tableaux de Young; Funções simétricas; Funções de Schur; Coeficientes de Littlewood-Richardson; Teses de mestrado - 2015; Domínio/Área Científica::Ciências Naturais::Matemáticas
Tese de mestrado em Matemática, apresentada à Universidade de Lisboa, através da Faculdade de Ciências, 2015
Os coeficientes de Littlewood-Richardson surgem inicialmente no contexto das funções de Schur. A primeira regra para os determinar foi apresentada por Littlewood e Richardson, nos anos trinta, e descreve-os como contando certos tipos de tableaux de Young enviesados. Contudo, só mais tarde, no final dos anos setenta, foi apresentada uma demonstração rigorosa, por Schützenberger e Thomas - baseada na teoria entretanto desenvolvida em torno de tableaux de Young, em particular a correspondência RSK e o jeu de taquin. Mais recentemente, a partir dos anos oitenta, têm sido apresentadas outras interpretações combinatórias para estes coeficientes, bem como demonstrações mais simples da regra de Littlewood-Richardson. O objectivo desta dissertação passa por apresentar tanto uma abordagem clássica aos coeficientes de Littlewood-Richardson, como também expor várias outras interpretações mais recentes, tornando claras as correspondências entre elas. Destacamos os padrões de Gelfand-Tsetlin, as colmeias de Knutsen e Tao, e os triângulos de Berenstein-Zelevinsky. Para além de uma breve referência a tableaux de Young e alguns dos seus algoritmos combinatórios mais importantes, nesta dissertação serão apresentadas os principais resultados relativos a funções de Schur; evidenciamos a sua relação com tableaux e observamos que formam uma base para a álgebra das funções simétricas. O produto de funções de Schur, bem como as funções de Schur indexadas por formas enviesadas, motivam a introdução dos coeficientes de Littlewood-Richardson, como sendo os coeficientes que aparecem numa combinação linear de outras funções de Schur. Segue-se a apresentação da abordagem clássica à regra de Littlewood-Richardson: enunciada em termos de certos tipos de tableaux enviesados e demonstrada com recurso ao jeu de taquin. Será também apresentada uma demonstração mais recente, que se baseia nas involuções de Bender-Knuth, inicialmente utilizadas na demonstração da simetria das funções de Schur. Para concluir, serão apresentadas algumas estruturas combinatórias mais recentes que são também contadas pelos coeficientes de Littlewood-Richardson, estabelecendo-se bijecções entre elas.
The Littlewood-Richardson coefficients initially emerge in the context of Schur functions. The first rule to determine them was presented by Littlewood and Richardson, during the thirties, and describe them as counting certain types of skew Young tableaux. However, it was only in the late seventies that a rigorous proof was presented, by Schützenberger and Thomas - based on the theory regarding Young tableaux developed in the meantime, particularly the RSK correspondence and jeu de taquin. More recently, from the eighties, other combinatorial interpretations for these coefficients have been presented, as well as other simpler proof for the Littlewood-Richardson rule. The purpose of this thesis is to present a classical approach to the Littlewood-Richardson coefficients, as well as expose other recent interpretations, making clear the correspondence between them. We will highlight the Gelfand-Tsetlin patterns, the Knutsen-Tao hives and the Berenstein-Zelevinsky triangles. In this thesis, beside a brief reference to Young tableaux and its most important combinatorial algorithms, we will present the main results regarding Schur functions; we highlight their relation with tableaux and remark that they form a basis for the algebra of symmetric functions. The product of Schur functions, as well as the skew Schur functions, motivate the introduction of the Littlewood-Richardson coefficients, as the coefficients that arise in a linear combination of other Schur functions. It follows the presentation to the classical approach to Littlewood-Richardson rule: we will enunciate it in terms of certain types of skew tableaux and prove it using jeu de taquin. It will also be presented a more recent proof, based on the Bender-Knuth involutions, that are used to prove the symmetry of Schur functions. To conclude, we will present some recent combinatorial structures that are also counted by Littlewood-Richardson coefficients, establishing bijections between them.
