Autor(es): Venâncio, Ricardo Filipe Machado
Data: 2016
Identificador Persistente: http://hdl.handle.net/10451/27480
Origem: Repositório da Universidade de Lisboa
Assunto(s): Option pricing; Lévy processes; Diffusion models; Jump-diffusion models; European options; American options; LU decomposition; Tridiagonal matrices; Numerical discretization; Finite differences; Teses de mestrado - 2016; Departamento de Matemática
Tese de mestrado, Matemática Financeira, Universidade de Lisboa, Faculdade de Ciências, 2016
Nesta tese, apresentam-se métodos para resolver numericamente equações diferenciais por forma a obter preços de contractos financeiros. Em particular, dá-se ênfase a opções vanilla de estilo europeu e americano cujo activo subjacente segue um modelo de difusão com saltos. Quanto à distribuição destes útltimos, destacam-se o modelo de Merton, que considera que eles têm uma distribuição Normal, e o de Kou, onde é assumida uma dupla distribuição exponencial. Este tipo de modelos representa uma extensão dos clássicos modelos de difusão, como o famoso modelo de Black-Scholes-Merton, e tem como objectivo superar algumas das falhas inerentes a este último, tal como caudas muito curtas e picos baixos da distribuição do logaritmo dos retornos do activo, que não reflectem, em geral, o sentimento dos investores nos mercados financeiros, aliando, ao mesmo tempo, a simplicidade e eficiência dos modelos de difusão. Para alcançar o nosso objectivo, estabelece-se inicialmente qual é a equação que descreve a dinâmica do valor dos preços das opções referidas em relação a vários parâmetros, tal como o valor do preço do activo subjacente e o tempo até à maturidade. Em seguida, constróem-se partições para a resolução numérica do problema, através da discretização da função que descreve o preço do contracto financeiro por diferenças finitas. Esta abordagem é útil visto que permite obter preços de contractos cujo "payoff" não é tão simples quanto o de opções vanilla e para os quais não existem fórmulas fechadas ou semi-fechadas para o seu valor em cada momento do tempo até à sua maturidade. No final, expõem-se os resultados encontrados para diferentes resoluções das partições, comparados com referências da literatura, e apresentam-se algumas conclusões.
In this dissertation, methods to solve numerically partial differential equations in order to obtain prices for contingent claims are presented. In particular, we highlight European and American style vanilla options, whose underlying asset follows a jumpdiffusion model. For the distribution of the jumps, the Merton and Kou models are studied. The former considers these have a Normal distribution, whereas the latter assumes a double-exponential. These type of models represent an extension of the classic diffusion models, such as the famous Black-Scholes-Merton, and has the goal of overcoming its flaws, such as thin tails and low peaks in the distribution of the logarithm of the asset returns, that do not reflect the general investors sentiment in the financial markets, while maintaining the simplicity and tractability inherent to diffusion models. To accomplish our goal, an equation describing the relation of the value of the referred options on several parameters, such as the time-to-maturity and the spot value of the underlying asset is suggested. We then build partitions in order to numerically solve our problem using finite differences, discretizing the function which provides the price of our contingent claim. This approach is useful, since it allows to obtain prices of contracts whose payoff is not as simple as the vanilla options’ and for which it does not exist closed or semi-closed formulae for its value at each point in time until maturity. Finally, we expose results found for each one of partitions considered, comparing them with values in the literature, and some conclusions are presented.
