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CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior

O objetivo geral da tese é o estudo de Equações Diferenciais Parciais Elípticas. A tese é dividida em duas Partes: (I) Desigualdade do Tipo Trudinger-Moser sobre espaços de Sobolev com pesos; e (II) A existência e não-existência de desigualdades isoperimétricas com pesos monomiais diferentes. Na Parte I, estabelecemos uma desigualdade do tipo Trudinger-Moser sobre espaços de Sobolev com pesos sobre o intervalo $(0,+\infty)$, relacionada com a classe de operadores elípticos quasilineares cuja forma radial é dada por $\displaystyle Lu:=-r^{-\theta} (r^{\alpha}\vert u'(r)\vert^{\beta}u'(r))',$ onde $\theta, \beta\geq 0$ e $\alpha>0$, são constantes satisfazendo algumas condições de existência. Vale enfatizar que esses operadores generalizam o $p$-Laplaceano e $k$- Hessiana, no caso radial. Os resultados envolvem dimensão fracionária, um princípio de P\'olya-Szeg{\"o} com pesos e uma limitação para a constante ótima associada com a desigualdade do tipo Gagliardo-Nirenberg. Na Parte II, consideramos pesos monomiais $x^{A}=\vert x_{1}\vert^{a_{1}}\ldots\vert x_{N}\vert^{a_{N}}$, onde $a_{i}$ é um número real não negativo para cada $i\in\{1,\ldots,N\}$, e estabelecemos a existência e não-existência de desigualdades isoperimétricas com pesos monomiais diferentes. Estudamos minimizadores positivos de $\int_{\partial\Omega}x^{A}\mathcal{H}^{N-1}(x)$ sobre todos os conjuntos abertos, limitados e suaves cujo volume $\int_{\Omega}x^{B}dx$ é fixo.

The main topic of the thesis is the study of Elliptic Partial Differential Equations. The thesis is divided into two Parts: (I) Trudinger-Moser Type inequality on weighted Sobolev spaces; and (II) on existence and nonexistence of isoperimetric inequalities with different monomial weights. In part I, we establish the Trudinger-Moser inequality on weighted Sobolev spaces in the whole space, and for a class of quasilinear elliptic operators in radial form of the type $\displaystyle Lu:=-r^{-\theta} (r^{\alpha}\vert u'(r)\vert^{\beta}u'(r))',$ where $\theta, \beta\geq 0$ and $\alpha>0$, are constants satisfying some existence conditions. It is worth emphasizing that these operators generalize the $p$- Laplacian and $k$-Hessian operators in the radial case. Our results involve fractional dimensions, a new weighted P\'olya-Szeg{\"o} principle, and a boundness value for the optimal constant in a Gagliardo-Nirenberg type inequality. In part II, we consider the monomial weight $x^{A}=\vert x_{1}\vert^{a_{1}}\ldots\vert x_{N}\vert^{a_{N}}$, where $a_{i}$ is a nonnegative real number for each $i\in\{1,\ldots,N\}$, and we establish the existence and nonexistence of isoperimetric inequalities with different monomial weights. We study positive minimizers of $\int_{\partial\Omega}x^{A}\mathcal{H}^{N-1}(x)$ among all smooth bounded open sets $\Omega$ in $\mathbb{R}^{N}$ with fixed Lebesgue measure with monomial weight $\int_{\Omega}x^{B}dx$.