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CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior

Existem alguns avanços relacionados à racionalidade do espaço de moduli de curvas algébricas pontuadas de gênero g com semigrupo de Weierstrass H. Os semigrupos estudados nos resultados existentes ou têm gênero menor ou igual a 6 ou são simétricos e gerados por no máximo quatro elementos. A presente tese tem como objetivo mostrar dois resultados sobre a geometria do espaço de moduli que podem ser descritos da seguinte forma: dado um semigrupo H de gênero g, se a curva monomial afim dada por H é interseção completa, então é possível mostrar que o espaço de moduli admite uma compactificação que é isomorfa a projetivização da parte negativamente graduada do primeiro módulo de cohomologia do complexo cotangente da álgebra do semigrupo H. A hipótese de intersecção completa pode ser enfraquecida assumindo que a curva dada por H é uma interseção completa local, porém devemos assumir também que o espaço de moduli é não vazio. Sob essas novas condições mostramos a mesma conclusão do primeiro resultado. São feitos muitos exemplos, inclusive para famílias de semigrupos. Um resultado clássico sobre a realização de semigrupos é obtido de maneira independente através de uma simples aplicação do critério Jacobiano e um outro resultado acerca da suavização de curvas monomiais, sem quaisquer obstruções, declina imediatamente do segundo resultado descrito.

There are many advances related to the the rationality of the moduli space H,1 parametrising pointed smooth projective curves of genus ≥ 0 and Weierstrass semigroup H at the marked point. The semigroups studied in the results have genus ≤ 6 or they are symmetric semigroups generated by at most four elements. This thesis is concerned to show two results about the geometry of H ,1 that can be described as follows: given a numerical semigroup H of genus ≥ 1, if the monomial affine curve Spec k[H] is a complete intersection, then we can show that H,1 admits a compactification that is isomorphic to the projetivization of the negatively graded part of the first cohomology moduli of k[H]. The complete intersection hypothesis can be interchanged by the hypothesis that the curve k[H] is a local complete intersection, but in this case we have to assume that H,1 is non-empty. Under these new conditions we show the same conclusion as the first result. Many examples are made, including for families of semigroups. A classical result of realizable semi-groups is obtained independently through a simple application of the Jacobian criterion, and another result on the smoothing of monomial curves, without any obstructions, immediately declines from the second result described above.