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Os n pontos da quadratura de Gauss-Gegenbauer são os zeros do polinômio ultraesférico de grau n. O tradicional e mais amplamente utilizado método do autossistema consiste em calcular os pontos como sendo os autovalores de uma matriz simétrica tridiagonal cujosautovetores podem ser utilizados para o cálculo dos respectivos pesos. Alternativamente o método de Newton-Raphson pode fornecer tais pontos e pesos utilizando algumas propriedades dos polinômios ultraesféricos. Neste trabalho demonstramos que, se forem utilizadasdeterminadas aproximações iniciais, o método de Newton-Raphson será, de fato, convergente para os zeros dos polinômios ultraesféricos no caso 0 << 1. Consequentemente obtemos algumas desigualdades para os zeros dos polinômios ultraesféricos. Além disto, comparamosa exatidão e o tempo de execução de ambos os métodos: autossistema e Newton-Raphson.

The n points of Gauss-Gegenbauer quadrature are the zeros of the ultraspherical polynomial of degree n. The traditional and most-widely used eigensystem method computes the points as the eigenvalues of a symmetric tridiagonal matrix whose eigenvectors can be used to compute the corresponding weights. Alternatively the Newton-Raphson method can provide such points and weights using some properties of ultraspherical polynomials. In this work we show that if certain initial guesses are used, the Newton-Raphson method is in fact convergent for zeros of ultraspherical polynomials in the case 0 << 1. As a result weobtain some inequalities for zeros of ultraspherical polynomials. In addition, we compare the accuracy and computation time of both methods: eigensystem and Newton-Raphson.