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Seja M uma variedade suave de dimensão n+1 e considere (...) umLagrangiano Tonelli . Seja (...) o conjunto dos potenciais suaves (...), fixado com a topologia C^2. Dado um potencial (...), consideremos o fluxo (...) do Lagrangiano perturbado (...). Seja (...) o conjunto de todas as órbitas periódicas de (...) no nível de energia (...) e definimos (...). Nesse trabalho, provamos que se (...) e sob certas condições no potencial u, então o conjunto (...) é um conjunto hiperbólico. Em particular, se o fluxo (..) tem um número infinito de órbitas periódicas então ele possui entropia topológica positiva. A prova desse resultado é basseada num Teorema análogo ao Lema de Franks para fluxos de Euler-Lagrange em variedades fechadas, que está provado nesse trabalho, e técnicas de R. Mañé em splitting dominado. Também provamos que se M é uma superfície fechada e (...), o fluxo de Euler-Lagrange admite uma perturbação por um potencial u, com norma C^2 arbitrariamentepequena, tal que o fluxo perturbado (...) tem entropia topológica positiva.

Let be M a smooth manifold of dimension n + 1 and consider a TonelliLagrangian(...) be the set of smooth potentials (...), fixed with C^2-topology. Given a potential (...), consider the flow (...) of the perturbed Lagrangian (...) be the set of all periodic orbits (...) on the energy level (...) and define (...). We prove that if (...) and under certain conditions for the potencial u, then the set (...) is a hyperbolic set. In particular, if (...) has an infinite number of periodic orbits then it has positive topological entropy. The proof of this result is based on an analogue of Franks' Lemma for Euler-Lagrange ow on closed manifolds, that is proven in this work, and R. Mañé's techniques on dominated splitting. We also show that if M is a closed surface and (...), the Euler-Lagrange flow admits a perturbation by potencial u, with C^2-norm arbitrarily small, such that the perturbed flow (...) has positive topological entropy.