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In this thesis, we prove the Hörmander’s theorem for a stochastic evolution equation driven by a trace-class fractional Brownian motion with Hurst exponent 1 2 < H < 1 and an analytical semigroup {S(t);t ≥ 0} on a given separable Hilbert space E. In contrast to the classical finite-dimensional case, the Jacobian operator in typical parabolicstochasticPDEsisnotinvertiblewhichcausesaseveredifficultyinexpressing the Malliavin matrix in terms of an adapted process. Under Hörmander’s bracket condition on the vector fields of the stochastic PDE and the additional assumption that S(t)E isdense, weprovethelawoffinite-dimensionalprojectionsofthestochasticPDE at time t has a density w.r.t Lebesgue measure. The argument is based on rough path techniques in the sense of Gubinelli (Controlling rough paths. J. Funct. Anal (2004)) and a suitable analysis on the Gaussian space of the fractional Brownian motion.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES

Nesta tese, nós provamos o teorema de Hörmander para uma equação de evolução estocástica dada por um movimento Browniano fracionário de classe traço com o expoente de Hurst 1 2 < H < 1 e um semigrupo analítico {S(t);t ≥ 0} em um espaço de Hilbert separável E. Ao contrário do caso clássico de dimensão finita, o operador Jacobiano em EDPs estocásticas parabólicas é tipicamente não invertível, o que causa uma grande dificuldade em expressar a matriz de Malliavin em termos de um processo adaptado. Através de uma condição de Hörmander sobre os colchetes de Lie aplicados aos campos da equação e uma suposição adicional de que S(t)E é denso, provamos que a lei das projeções finito-dimensionais da EDP estocástica no tempo t admite uma densidade com respeito à medida de Lebesgue. O argumento baseia-se em técnicas de "rough path" no sentido de Gubinelli (Controlling rough paths. J. Funct. Anal (2004)) e uma análise do espaço Gaussiano do movimento Browniano fracionário.