Author(s): Silva, Elaine Cristine de Souza
Date: 2019
Origin: Oasisbr
Subject(s): Números de Liouville; Problemas de Mahler; Funções (Matemática); Conjuntos excepcionais; Números de Liouville; Números de Liouville; Problemas de Mahler; Problemas de Mahler; Funções (Matemática); Funções (Matemática); Conjuntos excepcionais; Conjuntos excepcionais
Tese (doutorado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2019.
Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) e Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq).
Em 1844, Liouville explicitou os primeiros exemplos de números transcendentes. Eles são conhecidos como números de Liouville. Em 1906, Maillet provou que a imagem de um número de Liouville por uma função racional não constante (com coeficientes racionais) é também um número de Liouville (lembre-se que funções racionais são exemplos de funções algébricas). Em 1984, Mahler perguntou sobre a existência de funções transcendentes com essa propriedade. Neste trabalho, apresentamos uma condição suficiente, devido a Marques e Moreira, que implica nesta questão e, entre outros resultados, provamos um resultado que implica que a condição dada por eles não é satisfeita por séries de potências lacunárias com coeficientes racionais. Na segunda parte do nosso trabalho, obtemos um resultado relacionado a outro problema proposto por Mahler, para o qual seguiremos de forma mais construtiva, a fim de mostrar a existência de funções transcendentes com coeficientes inteiros com alguns conjuntos excepcionais prescritos.
In 1844, Liouville explicited the first examples of transcendental numbers. They are known as Liouville numbers. In 1906, Maillet proved that the image of a Liouville number by a non constant rational function (with rational coefficients) is also a Liouville number (recall that rational functions are examples of algebraic functions). In 1984, Mahler asked about the existence of transcendental functions with this property. In this work, we present a sufficient condition due to Marques and Moreira which implies in this question and, among other results, we prove a result which implies that the condition given by them is not satisfied by lacunary power series with rational coefficients. In the second part of our work we obtain a result related to another problem proposed by Mahler, for which we will follow a more constructive way, in order to show the existence of transcendental functions with integer coefficients with some prescribed exceptional sets.
