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Contradomínios numéricos em espaços de Hilbert e em espaços de Krein : teoria, algoritmos e implementação computacional
| Resumo: | Esta dissertação centra-se na investigação do conceito de contradomínio numérico em espaços de Hilbert e em espaços de Krein. Estudam-se importantes resultados relativos ao contradomínio numérico (clássico e indefinido) e analisam-se as propriedades mais relevantes de uma das generalizações mais conhecidas deste conceito: o contradomínio numérico tracial. Introduz-se o conceito de matriz de Toeplitz biperiódica (ou abreviadamente, matriz 2-Toeplitz). Estendem-se os resultados obtidos por Halmos [59], Klein [70] e Eiermann [45]. Estabelece-se uma região de inclusão para o con- tradomínio numérico clássico de uma matriz 2-Toeplitz de banda. Deduzem-se as equações paraméricas da curva geradora de fronteira e apresenta-se uma caracterização do contradomínio numérico clássico de um operador 2-Toeplitz de banda por redução ao caso 2 £ 2. Caracteriza-se o contradomínio numérico indefinido de uma classe especial de matrizes tridiagonais com contradomínio numérico hiperbólico, generalizando os resultados obtidos por Brown e Spitkovsky [27]. Deduzem-se as equações paramétricas da curva geradora de fronteira do contradomínio numérico tracial de uma matriz definida num espaço de Krein. Analisam-se condições favoráveis à ocorrência de porções planas na fronteira e caracteriza-se o contradomínio numérico tracial de uma matriz J-normal, em que J é a matriz de inércia. Apresentam-se quatro algoritmos e respectivos códigos computacionais em suporte informático. Os dois primeiros algoritmos permitem traçar a fronteira do contradomínio numérico clássico de um operador 2-Toeplitz de banda arbitrário, por recurso a dois processos diferentes: um por redução ao caso 2x2 e outro baseado no conceito de curva geradora de fronteira. O terceiro algo- ritmo permite traçar a fronteira do contradomínio numérico tracial (clássico e indefinido) de uma matriz complexa arbitrária com base no conceito de recta de suporte e o quarto algoritmo, além de permitir traçar graficamente a fronteira do contradomínio numérico (clássico e indefinido) de uma matriz complexa arbitrária, permite igualmente descrever a curva geradora de fronteira do mesmo. Apresentam-se exemplos ilustrativos das diferentes situações analisadas. |
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| Autores principais: | Santos, Ana Cristina Becerra Nata dos |
| Assunto: | Contradomínios numéricos Espaços de Hilbert Espaços de Krein |
| Ano: | 2011 |
| País: | Portugal |
| Tipo de documento: | tese de doutoramento |
| Tipo de acesso: | acesso aberto |
| Instituição associada: | Universidade de Coimbra |
| Idioma: | português |
| Origem: | Estudo Geral - Universidade de Coimbra |
| Resumo: | Esta dissertação centra-se na investigação do conceito de contradomínio numérico em espaços de Hilbert e em espaços de Krein. Estudam-se importantes resultados relativos ao contradomínio numérico (clássico e indefinido) e analisam-se as propriedades mais relevantes de uma das generalizações mais conhecidas deste conceito: o contradomínio numérico tracial. Introduz-se o conceito de matriz de Toeplitz biperiódica (ou abreviadamente, matriz 2-Toeplitz). Estendem-se os resultados obtidos por Halmos [59], Klein [70] e Eiermann [45]. Estabelece-se uma região de inclusão para o con- tradomínio numérico clássico de uma matriz 2-Toeplitz de banda. Deduzem-se as equações paraméricas da curva geradora de fronteira e apresenta-se uma caracterização do contradomínio numérico clássico de um operador 2-Toeplitz de banda por redução ao caso 2 £ 2. Caracteriza-se o contradomínio numérico indefinido de uma classe especial de matrizes tridiagonais com contradomínio numérico hiperbólico, generalizando os resultados obtidos por Brown e Spitkovsky [27]. Deduzem-se as equações paramétricas da curva geradora de fronteira do contradomínio numérico tracial de uma matriz definida num espaço de Krein. Analisam-se condições favoráveis à ocorrência de porções planas na fronteira e caracteriza-se o contradomínio numérico tracial de uma matriz J-normal, em que J é a matriz de inércia. Apresentam-se quatro algoritmos e respectivos códigos computacionais em suporte informático. Os dois primeiros algoritmos permitem traçar a fronteira do contradomínio numérico clássico de um operador 2-Toeplitz de banda arbitrário, por recurso a dois processos diferentes: um por redução ao caso 2x2 e outro baseado no conceito de curva geradora de fronteira. O terceiro algo- ritmo permite traçar a fronteira do contradomínio numérico tracial (clássico e indefinido) de uma matriz complexa arbitrária com base no conceito de recta de suporte e o quarto algoritmo, além de permitir traçar graficamente a fronteira do contradomínio numérico (clássico e indefinido) de uma matriz complexa arbitrária, permite igualmente descrever a curva geradora de fronteira do mesmo. Apresentam-se exemplos ilustrativos das diferentes situações analisadas. |
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