Publicação
Sobre um método proposto por José Sebastião e Silva para o cálculo de raízes de uma equação algébrica
| Resumo: | Esta dissertação realiza-se no âmbito do Mestrado em Ciências - Formação Contínua de Professores - área de especialização em Matemática. É objetivo principal desta tese aprofundar conhecimentos e desenvolver competências com vista a uma melhoria do meu desempenho profissional. Também gostaria que este trabalho viesse a ser lido por outros professores de Matemática do Ensino Básico e Secundário e que constituísse também para eles uma experiência de reflexão sobre o que se ensina (e como se ensina) no tema das equações algébricas. Neste trabalho estudaremos um dos métodos apresentados por Sebastião e Silva em [SebSilva1940] e também os métodos de Graeffe e de Newton – Raphson que com aquele se relacionam. Incluído neste estudo está a análise da convergência baseada no “Teorema Fundamental” de Sebastião e Silva, resultado original e muito interessante. As ferramentas matemáticas envolvidas no método de Sebastião e Silva são: a) as relações de Vieta para encontrar a aproximação u da menor das raizes de um polinómio; b) a transformação algébrica do polinómio decorrente da mudança de variável y = x-u ; c) a transformada de Graeffe para a aceleração da convergência. Usadas de forma iterativa, a) e b) são afinal matematicamente equivalentes ao método de Newton- Raphson e a proposta de Sebastião e Silva difere daquele método clássico apenas na utilização da transformada de Graeffe para aumentar o afastamento entre as raízes, melhorando assim a rapidez de convergência. Incluiremos secções onde tratamos, de forma autónoma, a transformada de Graeffe (secção 2) e o método de Newton-Raphson (secção 3). Em cada caso procurámos expôr de forma suficientemente detalhada a teoria básica subjacente e usámos exemplos ilustrativos do funcionamento dos métodos. Reservámos uma secção própria (secção 4) para o “Teorema Fundamental” que aparece no primeiro parágrafo de [SebSilva1940] onde Sebastião e Silva apresenta uma condição necessária e suficiente para a convergência de um método iterativo. Optámos por não reproduzir a demonstração do Teorema Fundamental e dar ênfase à sua interpretação no caso dos exemplos incluídos. |
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| Autores principais: | Sousa, Lúcia Bernardete Azevedo de |
| Assunto: | Ciências Naturais::Outras Ciências Naturais |
| Ano: | 2017 |
| País: | Portugal |
| Tipo de documento: | dissertação de mestrado |
| Tipo de acesso: | acesso aberto |
| Instituição associada: | Universidade do Minho |
| Idioma: | português |
| Origem: | RepositóriUM - Universidade do Minho |
| Resumo: | Esta dissertação realiza-se no âmbito do Mestrado em Ciências - Formação Contínua de Professores - área de especialização em Matemática. É objetivo principal desta tese aprofundar conhecimentos e desenvolver competências com vista a uma melhoria do meu desempenho profissional. Também gostaria que este trabalho viesse a ser lido por outros professores de Matemática do Ensino Básico e Secundário e que constituísse também para eles uma experiência de reflexão sobre o que se ensina (e como se ensina) no tema das equações algébricas. Neste trabalho estudaremos um dos métodos apresentados por Sebastião e Silva em [SebSilva1940] e também os métodos de Graeffe e de Newton – Raphson que com aquele se relacionam. Incluído neste estudo está a análise da convergência baseada no “Teorema Fundamental” de Sebastião e Silva, resultado original e muito interessante. As ferramentas matemáticas envolvidas no método de Sebastião e Silva são: a) as relações de Vieta para encontrar a aproximação u da menor das raizes de um polinómio; b) a transformação algébrica do polinómio decorrente da mudança de variável y = x-u ; c) a transformada de Graeffe para a aceleração da convergência. Usadas de forma iterativa, a) e b) são afinal matematicamente equivalentes ao método de Newton- Raphson e a proposta de Sebastião e Silva difere daquele método clássico apenas na utilização da transformada de Graeffe para aumentar o afastamento entre as raízes, melhorando assim a rapidez de convergência. Incluiremos secções onde tratamos, de forma autónoma, a transformada de Graeffe (secção 2) e o método de Newton-Raphson (secção 3). Em cada caso procurámos expôr de forma suficientemente detalhada a teoria básica subjacente e usámos exemplos ilustrativos do funcionamento dos métodos. Reservámos uma secção própria (secção 4) para o “Teorema Fundamental” que aparece no primeiro parágrafo de [SebSilva1940] onde Sebastião e Silva apresenta uma condição necessária e suficiente para a convergência de um método iterativo. Optámos por não reproduzir a demonstração do Teorema Fundamental e dar ênfase à sua interpretação no caso dos exemplos incluídos. |
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