Publicação
Estruturas combinatórias associadas aos coeficientes de Littlewood-Richardson
| Resumo: | Os coeficientes de Littlewood-Richardson surgem inicialmente no contexto das funções de Schur. A primeira regra para os determinar foi apresentada por Littlewood e Richardson, nos anos trinta, e descreve-os como contando certos tipos de tableaux de Young enviesados. Contudo, só mais tarde, no final dos anos setenta, foi apresentada uma demonstração rigorosa, por Schützenberger e Thomas - baseada na teoria entretanto desenvolvida em torno de tableaux de Young, em particular a correspondência RSK e o jeu de taquin. Mais recentemente, a partir dos anos oitenta, têm sido apresentadas outras interpretações combinatórias para estes coeficientes, bem como demonstrações mais simples da regra de Littlewood-Richardson. O objectivo desta dissertação passa por apresentar tanto uma abordagem clássica aos coeficientes de Littlewood-Richardson, como também expor várias outras interpretações mais recentes, tornando claras as correspondências entre elas. Destacamos os padrões de Gelfand-Tsetlin, as colmeias de Knutsen e Tao, e os triângulos de Berenstein-Zelevinsky. Para além de uma breve referência a tableaux de Young e alguns dos seus algoritmos combinatórios mais importantes, nesta dissertação serão apresentadas os principais resultados relativos a funções de Schur; evidenciamos a sua relação com tableaux e observamos que formam uma base para a álgebra das funções simétricas. O produto de funções de Schur, bem como as funções de Schur indexadas por formas enviesadas, motivam a introdução dos coeficientes de Littlewood-Richardson, como sendo os coeficientes que aparecem numa combinação linear de outras funções de Schur. Segue-se a apresentação da abordagem clássica à regra de Littlewood-Richardson: enunciada em termos de certos tipos de tableaux enviesados e demonstrada com recurso ao jeu de taquin. Será também apresentada uma demonstração mais recente, que se baseia nas involuções de Bender-Knuth, inicialmente utilizadas na demonstração da simetria das funções de Schur. Para concluir, serão apresentadas algumas estruturas combinatórias mais recentes que são também contadas pelos coeficientes de Littlewood-Richardson, estabelecendo-se bijecções entre elas. |
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| Autores principais: | Rodrigues, Inês Martins |
| Assunto: | Partições Tableaux de Young Funções simétricas Funções de Schur Coeficientes de Littlewood-Richardson Teses de mestrado - 2015 |
| Ano: | 2015 |
| País: | Portugal |
| Tipo de documento: | dissertação de mestrado |
| Tipo de acesso: | acesso aberto |
| Instituição associada: | Universidade de Lisboa |
| Idioma: | português |
| Origem: | Repositório da Universidade de Lisboa |
| Resumo: | Os coeficientes de Littlewood-Richardson surgem inicialmente no contexto das funções de Schur. A primeira regra para os determinar foi apresentada por Littlewood e Richardson, nos anos trinta, e descreve-os como contando certos tipos de tableaux de Young enviesados. Contudo, só mais tarde, no final dos anos setenta, foi apresentada uma demonstração rigorosa, por Schützenberger e Thomas - baseada na teoria entretanto desenvolvida em torno de tableaux de Young, em particular a correspondência RSK e o jeu de taquin. Mais recentemente, a partir dos anos oitenta, têm sido apresentadas outras interpretações combinatórias para estes coeficientes, bem como demonstrações mais simples da regra de Littlewood-Richardson. O objectivo desta dissertação passa por apresentar tanto uma abordagem clássica aos coeficientes de Littlewood-Richardson, como também expor várias outras interpretações mais recentes, tornando claras as correspondências entre elas. Destacamos os padrões de Gelfand-Tsetlin, as colmeias de Knutsen e Tao, e os triângulos de Berenstein-Zelevinsky. Para além de uma breve referência a tableaux de Young e alguns dos seus algoritmos combinatórios mais importantes, nesta dissertação serão apresentadas os principais resultados relativos a funções de Schur; evidenciamos a sua relação com tableaux e observamos que formam uma base para a álgebra das funções simétricas. O produto de funções de Schur, bem como as funções de Schur indexadas por formas enviesadas, motivam a introdução dos coeficientes de Littlewood-Richardson, como sendo os coeficientes que aparecem numa combinação linear de outras funções de Schur. Segue-se a apresentação da abordagem clássica à regra de Littlewood-Richardson: enunciada em termos de certos tipos de tableaux enviesados e demonstrada com recurso ao jeu de taquin. Será também apresentada uma demonstração mais recente, que se baseia nas involuções de Bender-Knuth, inicialmente utilizadas na demonstração da simetria das funções de Schur. Para concluir, serão apresentadas algumas estruturas combinatórias mais recentes que são também contadas pelos coeficientes de Littlewood-Richardson, estabelecendo-se bijecções entre elas. |
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