Publicação
Diagramas de crescimento e combinatória de quadros de Young
| Resumo: | O estudo dos quadros de Young, durante o século XX, levou ao desenvolvimento de vários algoritmos combinatórios, como a correspondência de Robinson-Schensted e o jeu de taquin de Schützenberger. Algumas propriedades destes algoritmos, especialmente aquelas que dizem respeito a aspectos de simetria, tornam-se mais claras quando os algoritmos são reformulados noutro contexto. No final do século XX, Fomin desenvolveu a noção de diagrama de crescimento, com o intuito de estudar estes algoritmos combinatórios, tornando mais transparentes as suas propriedades fundamentais. No estudo de diagramas de crescimento, os resultados de Greene e Kleitman sobre conjuntos parcialmente ordenados assumem um papel central; o teorema da dualidade de Greene para conjuntos parcialmente ordenados finitos é especialmente relevante neste contexto. O principal objectivo desta dissertação é a utilização de diagramas de crescimento para estudar as principais propriedades de alguns algoritmos combinatórios, bem como o desenvolvimento das ferramentas necessárias para este fim. Nesta dissertação, após uma apresentação sumária das noções básicas sobre conjuntos parcialmente ordenados, partições e quadros de Young, são apresentados em detalhe os resultados de Greene e Kleitman sobre famílias de cadeias e anticadeias em conjuntos parcialmente ordenados finitos. Demonstramos o teorema da dualidade de Greene e examinamos algumas das suas consequências mais relevantes, com o objectivo de relacionar diagramas de Young com ideais de ordem de conjuntos parcialmente ordenados. Em seguida, apresentamos as versões clássicas de alguns algoritmos combinatórios envolvendo quadros de Young: a correspondência de Robinson-Schensted, a correspondência RSK, o jeu de taquin de Schützenberger e a evacuação. Estes algoritmos são posteriormente reformulados recorrendo a diagramas de crescimento, tirando partido das ferramentas desenvolvidas com o auxílio do teorema da dualidade de Greene. As propriedades fundamentais destes algoritmos são demonstradas no último capítulo, particularmente as suas propriedades de simetria e o efeito de transformações de uma permutação nos quadros de Young que lhe correspondem pelo algoritmo de Robinson-Schensted. |
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| Autores principais: | Gomes, Filipe Jorge Matos Dias |
| Assunto: | Partições Quadros de Young Conjuntos parcialmente ordenados Algoritmos combinatórios Permutações Diagramas de crescimento Teses de mestrado - 2014 |
| Ano: | 2014 |
| País: | Portugal |
| Tipo de documento: | dissertação de mestrado |
| Tipo de acesso: | acesso aberto |
| Instituição associada: | Universidade de Lisboa |
| Idioma: | português |
| Origem: | Repositório da Universidade de Lisboa |
| Resumo: | O estudo dos quadros de Young, durante o século XX, levou ao desenvolvimento de vários algoritmos combinatórios, como a correspondência de Robinson-Schensted e o jeu de taquin de Schützenberger. Algumas propriedades destes algoritmos, especialmente aquelas que dizem respeito a aspectos de simetria, tornam-se mais claras quando os algoritmos são reformulados noutro contexto. No final do século XX, Fomin desenvolveu a noção de diagrama de crescimento, com o intuito de estudar estes algoritmos combinatórios, tornando mais transparentes as suas propriedades fundamentais. No estudo de diagramas de crescimento, os resultados de Greene e Kleitman sobre conjuntos parcialmente ordenados assumem um papel central; o teorema da dualidade de Greene para conjuntos parcialmente ordenados finitos é especialmente relevante neste contexto. O principal objectivo desta dissertação é a utilização de diagramas de crescimento para estudar as principais propriedades de alguns algoritmos combinatórios, bem como o desenvolvimento das ferramentas necessárias para este fim. Nesta dissertação, após uma apresentação sumária das noções básicas sobre conjuntos parcialmente ordenados, partições e quadros de Young, são apresentados em detalhe os resultados de Greene e Kleitman sobre famílias de cadeias e anticadeias em conjuntos parcialmente ordenados finitos. Demonstramos o teorema da dualidade de Greene e examinamos algumas das suas consequências mais relevantes, com o objectivo de relacionar diagramas de Young com ideais de ordem de conjuntos parcialmente ordenados. Em seguida, apresentamos as versões clássicas de alguns algoritmos combinatórios envolvendo quadros de Young: a correspondência de Robinson-Schensted, a correspondência RSK, o jeu de taquin de Schützenberger e a evacuação. Estes algoritmos são posteriormente reformulados recorrendo a diagramas de crescimento, tirando partido das ferramentas desenvolvidas com o auxílio do teorema da dualidade de Greene. As propriedades fundamentais destes algoritmos são demonstradas no último capítulo, particularmente as suas propriedades de simetria e o efeito de transformações de uma permutação nos quadros de Young que lhe correspondem pelo algoritmo de Robinson-Schensted. |
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